¿Se pueden clasificar los enteros $n$ expresables como $2a^2-3b^2$?

Question

Sea $S$ el conjunto de enteros $n$ que pueden ser expresados como $$n=2a^2-3b^2$$ con enteros $a,b$

¿Puede $S$ ser clasificado por una condición iff que permita decidir si $n\ \in S$ cuando se conoce la factorización de $n$?

Encontré varios resultados parciales, pero no pude encontrar una estructura final.

Lo que descubrí:

• Los residuos $1$ y $3$ módulo $8$ son imposibles al igual que el residuo $1$ módulo $3$
• Un primo $p\ge 5$ solo puede estar en $S$, cuando $p\equiv 5\mod 24$ o $p\equiv 23\mod 24$
• $n\ \in S$ si y solo si la ecuación tipo pell $$c^2-6b^2=2n$$ tiene una solución entera
• No puede haber un cuadrado perfecto distinto de cero (incluyendo $1$) en $S$

Observando los residuos imposibles módulo $2^k$, parece que para $k\ge 3$ hay $2^{k-1}-2$ residuos imposibles, por lo que con cada factor adicional $2$, ocurren $2$ residuos imposibles nuevos. ¿Es esto cierto y, de ser así, por qué? Además, parece ser imposible el residuo $3^k$ módulo $3^{k+1}$. Nuevamente, ¿es esto cierto y, de ser así, por qué?

Answer 1

Sí, pueden ser clasificados.

Es algo par/impar. Los nombres se deben a Irving Kaplansky, utilizado entre nosotros y nunca puesto por escrito. Esto fue alrededor de 1994.

Un número se representa primitivamente si todos los factores primos están entre $2,3$ y $1,5,19,23 \pmod{24}$ Y la suma de los exponentes de los primos medianos ES IMPAR.

Los primos "buenos" son $3$ y todos los primos $1,19 \pmod{24}$

Los primos "malos" son todos los $7, 11, 13, 17 \pmod{24}.$

Un número no puede ser representado en absoluto a menos que el exponente de cada primo malo sea par. Para obtener una representación primitiva ningún primo malo puede ser factor en absoluto.

Los primos "medianos" son $2$ y todos los primos $5,23 \pmod{24}$ como mencionaste. También tomemos $-1$ como un "primo medio."

Los nombres se deben a Irving Kaplansky, así me lo dijo en casos de exactamente dos géneros de formas cuadráticas binarias, una clase por género.

jagy@phobeusjunior:~$ ./Conway_Positive_Primitive   2 0 -3  350
           2           0          -3   forma original 

           2           4          -1   reducido por Lagrange-Gauss 
Números enteros positivos representados primitivamente hasta 350

           2 = 2
           5 = 5
           6 = 2 * 3
          15 = 3 * 5
          23 = 23
          29 = 29
          38 = 2 * 19
          47 = 47
          50 = 2 * 5^2
          53 = 53
          69 = 3 * 23
          71 = 71
          86 = 2 * 43
          87 = 3 * 29
          95 = 5 * 19
         101 = 101
         114 = 2 * 3 * 19
         125 = 5^3
         134 = 2 * 67
         141 = 3 * 47
         146 = 2 * 73
         149 = 149
         150 = 2 * 3 * 5^2
         159 = 3 * 53
         167 = 167
         173 = 173
         191 = 191
         194 = 2 * 97
         197 = 197
         213 = 3 * 71
         215 = 5 * 43
         230 = 2 * 5 * 23
         239 = 239
         258 = 2 * 3 * 43
         263 = 263
         269 = 269
         278 = 2 * 139
         285 = 3 * 5 * 19
         290 = 2 * 5 * 29
         293 = 293
         303 = 3 * 101
         311 = 311
         317 = 317
         326 = 2 * 163
         335 = 5 * 67

 Números enteros positivos representados primitivamente hasta  350

           2           0          -3   forma original

Answer 2

Las soluciones enteras de $2 x^2 - 3 y^2 = n$ son invariantes bajo la transformación $(x,y) \to (5x+6y, 4x+5y)$. Por lo tanto, si hay una solución entera, debe haber una con $\sqrt{n/2} \le x \le 5 \sqrt{n/2}$ (si $n > 0$), o $\sqrt{-n/3} \le y \le 6 \sqrt{-n/3}$ (si $n < 0$).