¿Es esta identidad hipergeométrica nueva?

Question

$$\frac{\left(\beta_{2}+\beta_{1}\right)^{\alpha_{1}+\alpha_{2}-1}B\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right)}{\beta_{1}^{\alpha_{1}}\beta_{2}^{\alpha_{2}}}=\frac{1}{\alpha_{1}\beta_{2}}{_{2}F_{1}}\left({1-\alpha_{2},1\atop 1+\alpha_{1}};-\tfrac{\beta_{1}}{\beta_{2}}\right)+\frac{1}{\alpha_{2}\beta_{1}}{_{2}F_{1}}\left({1-\alpha_{1},1\atop 1+\alpha_{2}};-\tfrac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\right)$$
Donde $B(\alpha_{1},\alpha_{2})=\frac{\Gamma\left(\alpha_{1}\right)\cdot\Gamma\left(\alpha_{2}\right)}{\Gamma\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)}$ es la función Beta
Para mí es muy interesante porque:

1. Dispone de 4 independiente de los parámetros/variables.

2. Se relaciona $\frac{\beta_{1}}{\beta_{2}} and \frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}$.

3. El 1 en la parte superior del plazo puede ser manipulado por Hipergeométrica de relaciones o de la Hipergeométrica Generalizada de las relaciones:

• DLMF 15.5: https://dlmf.nist.gov/15.5

• DLMF 16.3(i): https://dlmf.nist.gov/16.3.i
Si este tipo de identidad es conocida estaría interesado en cualquier información. Es posible que el original de problemas de probabilidad (ver más abajo), podría ser una fuente de nuevos Hipergeométrica identidades?

Antecedentes:
Mientras kibitzing en un papel por Aaron Hendrickson me di cuenta de una forma equivalente derivadas del cálculo de probabilidades condicionales para la gamma-diferencia de distribución. Específicamente, para $Y\sim\mathcal{GD}(\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2})$ que es la distribución de la diferencia de independiente gamma variables tenemos los siguientes resultados. $$\operatorname{pr}(Y\leq0)=C_{Y}\frac{\Gamma(\alpha_{1}+\alpha_{2})}{\beta_{2}\alpha_{1}}{_{2}F_{1}}\left({1-\alpha_{2},1\atop 1+\alpha_{1}};-\tfrac{\beta_{1}}{\beta_{2}}\right),$$
$$\operatorname{pr}(Y\geq0)=C_{Y}\frac{\Gamma(\alpha_{1}+\alpha_{2})}{\beta_{1}\alpha_{2}}{_{2}F_{1}}\left({1-\alpha_{1},1\atop 1+\alpha_{2}};-\tfrac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\right),$$
donde
$$C_{Y}=\beta_{1}^{\alpha_{1}}\beta_{2}^{\alpha_{2}}(\beta_{1}+\beta_{2})^{1-\alpha_{1}-\alpha_{2}},$$
para $\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2}>0$. Si es true entonces se sigue que $\operatorname{pr}(Y\leq0)+\operatorname{pr}(Y\geq0)=1$ (con una superposición de medida cero) y la ecuación es verdadera.
Tan lejos como puedo decirle que la afirmación es verdadera numéricamente pero no tengo idea de cómo demostrarlo en términos de funciones Hipergeométricas.

Answer 1

Esta expresión puede obtenerse a partir de la fórmula de conexión \begin{equation} w_{1}(z)=\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(b-a\right)}{\Gamma\left(b\right)\Gamma\left(c-a\right)}w_{5}(z)+\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(a-b% \right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-b\right)}w_{6}(z) \end{equation} donde \begin{align} w_{1}(z)&={_{2}F_{1}}\left({a,b\atop c};z\right)\\ w_{5}(z)&=e^{a\pi\mathrm{i}}z^{-a}{_{2}F_{1}}\left({a,a-c+1\atop a-b+1};\frac{1}{z}\right)\\ w_{6}(z)&=e^{b\pi\mathrm{i}}z^{-b}{_{2}F_{1}}\left({b,b-c+1\atop b-a+1};\frac{1}{z}\right) \end{align} La elección de $a=1,b=1-\alpha_2,c=1+\alpha_1$$z=-\beta_1/\beta_2$, tenemos \begin{align} w_{1}(z)&={_{2}F_{1}}\left({1,1-\alpha_2\atop 1+\alpha_1};-\frac{\beta_1}{\beta_2}\right)\\ w_{5}(z)&=\frac{\beta_2}{\beta_1}{_{2}F_{1}}\left({1,1-\alpha_1\atop 1+\alpha_2};-\frac{\beta_2}{\beta_1}\right)\\ w_{6}(z)&=e^{(1-\alpha_2)\pi\mathrm{i}}\left( -\frac{\beta_1}{\beta_2} \right)^{-(1-\alpha_2)}{_{2}F_{1}}\left({1-\alpha_2,1-\alpha_1-\alpha_2\atop 1-\alpha_2};-\frac{\beta_2}{\beta_1}\right) \end{align} La última expresión se puede simplificar como (ver aquí) \begin{equation} w_{6}(z)=\left( \frac{\beta_1}{\beta_2} \right)^{-(1-\alpha_2)}(1+\frac{\beta_2}{\beta_1})^{\alpha_1+\alpha_2-1} \end{equation} La fórmula de conexión lee así \begin{align} {_{2}F_{1}}\left({1,1-\alpha_2\atop 1+\alpha_1};-\frac{\beta_1}{\beta_2}\right)=& \frac{\Gamma(1+\alpha_1)\Gamma(-\alpha_2)}{\Gamma(1-\alpha_2)\Gamma(\alpha_1)}\frac{\beta_2}{\beta_1}{_{2}F_{1}}\left({1,1-\alpha_1\atop 1+\alpha_2};-\frac{\beta_2}{\beta_1}\right)\\ &+\frac{\Gamma(1+\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}{\Gamma(1)\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)}\left( \frac{\beta_1}{\beta_2} \right)^{-(1-\alpha_2)}(1+\frac{\beta_2}{\beta_1})^{\alpha_1+\alpha_2-1} \end{align} que después de algunas simplificaciones conduce a \begin{align} {_{2}F_{1}}\left({1,1-\alpha_2\atop 1+\alpha_1};-\frac{\beta_1}{\beta_2}\right)=& -\frac{\alpha_1}{\alpha_2}\frac{\beta_2}{\beta_1}{_{2}F_{1}}\left({1,1-\alpha_1\atop 1+\alpha_2};-\frac{\beta_2}{\beta_1}\right)\\ &+\alpha_1 B(\alpha_1,\alpha_2)\left( \beta_1+\beta_2 \right)^{\alpha_1+\alpha_2-1}\beta_1^{-\alpha_1}\beta_2^{1-\alpha_2} \end{align} o a \begin{equation} \frac{1}{\alpha_1\beta_2}{_{2}F_{1}}\left({1,1-\alpha_2\atop 1+\alpha_1};-\frac{\beta_1}{\beta_2}\right)+ \frac{1}{\alpha_2\beta_1}{_{2}F_{1}}\left({1,1-\alpha_1\atop 1+\alpha_2};-\frac{\beta_2}{\beta_1}\right) = B(\alpha_1,\alpha_2)\left( \beta_1+\beta_2 \right)^{\alpha_1+\alpha_2-1}\beta_1^{-\alpha_1}\beta_2^{-\alpha_2} \end{equation} como era de esperar.