¿Por qué perdemos soluciones cuando dividimos $2\sin\theta\cos\theta=\sin\theta$ $\sin\theta$?

Question

Hay una ecuación $$\sin2\theta=\sin\theta$$ Tenemos que mostrar cuando el lado derecho es igual a la izquierda para a $[0,2\pi]$.

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Vamos a volver a escribir como $$2\sin\theta\cos\theta=\sin\theta$$ Vamos a dividir ambos lados por $\sin\theta$ (a continuación,$\sin\theta \neq 0 \leftrightarrow \theta \notin \{0,\pi,2\pi\}$) $$2\cos\theta=1$$ $$cos\theta=\frac{1}{2}$$ $$\theta\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}$$

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Ahora, vamos a probar algo diferente. $$2\sin\theta\cos\theta=\sin\theta$$ $$2\sin\theta\cos\theta-\sin\theta=0$$ $$\sin\theta(2\cos\theta-1)=0$$ Podemos tener la solución al $\sin\theta=0$. $$\sin\theta=0$$ $$\theta \in \left\{0,\pi,2\pi\right\}$$ Y al $2\cos\theta-1=0$. $$2\cos\theta-1=0$$ $$2\cos\theta=1$$ $$\cos\theta=\frac{1}{2}$$ $$\theta \in \left\{\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}$$ Por lo tanto todo el conjunto solución es $$\theta \in \left\{0,\pi,2\pi,\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}$$ Esta es la solución correcta.

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¿Por qué está sucediendo esto? En el primer enfoque, el exceso de solución dada por $\sin\theta=0$ es no solo no aparecen, pero en realidad prohibido. Ambos enfoques parece ser válida para mí, sin embargo, el primero de los rendimientos menos las soluciones que el segundo. Es la primera aproximación no es válida en algunos casos? Este no es el único caso en el que esto sucede, así que me gustaría saber cuando tengo que usar el segundo método para resolver la ecuación, así que no te pierdas ninguna de las posibles soluciones.

Answer 1

Cada vez que dividir ambos lados de una ecuación por algo, usted está asumiendo que lo que se está dividiendo por es distinto de cero, porque la división por $0$ no es válido.

Así que de $2 \sin \theta \cos \theta = \sin \theta$ $2 \cos\theta = 1$sólo es válida cuando se $\sin\theta \ne 0$.

En general, todo lo que esto significa es que usted necesita para comprobar el $\sin \theta = 0$ caso por separado. Por ejemplo, ir de $2 \sin\theta \cos\theta = 1$ $2 \cos\theta = \frac1{\sin\theta}$también es válida únicamente cuando se $\sin\theta \ne 0$, pero no se pierden ninguna de las soluciones por hacer esto, debido a que los valores de $\theta$ que $\sin\theta=0$ no eran soluciones, para empezar.

Pero en este caso en particular, cuando se $\sin\theta = 0$, la ecuación de $2\sin\theta \cos\theta = \sin\theta$ está satisfecho, por lo que es correcto para ir de este a $$ 2\cos\theta = 1 \text{ o } \sin\theta = 0. $$

Answer 2

Incorrecto: $$ab=ac\Longleftrightarrow b=c$ $

Correcto: $$ab=ac\Longleftrightarrow\cases{b=c\\text{or}\a=0}$ $

Por lo tanto, si desea simplificar la $a$, usted automáticamente termina con una prueba por el agotamiento, con al menos dos casos.

Answer 3

Sólo plantear soluciones para $\cos\theta=\frac{1}{2}$ en el primer caso. De hecho, si realiza dicha cancelación, usted debe considerar también las soluciones dadas por $\sin\theta=0$.

Por qué? Multiplicar ambos lados por cero:$$2\cos\theta=1,\,\,2\cos\theta\,\cdot0=1\,\cdot0$$ Bare in mind $\sin\theta$ could be $0$, usted tiene $$2\cos\theta\sin\theta=\sin\theta$$

La división es válido si $\sin\theta\ne0$; sin embargo, la ecuación que se aplica en el caso de $\sin\theta=0$. Esta es la razón por la que hemos de considerar el caso: usted ha asumido $\sin\theta\ne0$ a de cancelación, lo cual es correcto; pero la ecuación no tiene esta suposición. Usted tiene que considerar el caso cuando este supuesto no se aplica.