Soluciones complejas de una ecuación de Quintica: $z^5+4\overline z^3=0$

Question

Solucionar $$z^5+4\overline z^3=0$$

Esto es lo que hice. Deje $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, por tanto, la ecuación es: $$r^5(\cos5\theta+i\sin5\theta)+4r^3(\cos3\theta-i\sin3\theta)=0.$$ Supongamos $r$ no $0$ y dividir ambos lados por $r^3$ para obtener: $$(r^2\cos5\theta+4\cos3\theta)+i(r^2\sin5\theta-4\sin3\theta)=0+0i$$ así, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: $$r^2\cos5\theta+4\cos3\theta=0$$ $$r^2\sin5\theta-4\sin3\theta=0$$ No estoy seguro de cómo continuar. He tratado de restar $4\cos3\theta$ desde ambos lados de la primera ecuación y en la segunda agregar $4\sin3\theta$ a ambos lados y, a continuación, dividir las ecuaciones, para obtener el $\tan5\theta=-\tan3\theta$, pero entonces supongo que no estoy dividiendo ser cero y eso es un problema. ¿Qué puedo hacer desde aquí? Hay una forma más simple de resolver este problema? Gracias!

Answer 1

En primer lugar, esto no es polinomio. Se parece pero no es: no aplica el Teorema fundamental del álgebra (aviso que conseguir nueve soluciones al final, no cinco).

Observe que $z = 0$ es una solución obvia, por eso buscamos soluciones de distinto de cero. Multiplicar la ecuación por $z^3$ $$z^8 + 4|z^6| = 0\ z^8 = -4|z|^6$ $ a

así que número real negativo, es decir $z^8$, por la fórmula de Moivre y $8\arg z \equiv \pi \pmod {2\pi}$ $\arg z = \frac{\pi + 2k\pi}{8}.$

Por otra parte, $$z^8 = - 4|z|^6 \implies |z|^8 = 4|z|^6 \implies |z|^2 = 4 \implies |z|=2.$ $

Por lo tanto, las soluciones son $2e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{8}},\ k\in\mathbb Z$ y $0$.

Answer 2

Tenga en cuenta que según la Fórmula de Euler de los números complejos $z$ puede ser expresado como $z=re^{i\theta}$ donde $|z|=r$ $\theta$ es el argumento de $z$. Asimismo, el complejo de número de $\bar z $ puede ser expresado como $\bar z=re^{-i\theta}$ donde $|\bar z|=r$ $-\theta$ es el argumento de $\bar z$.

Por lo tanto, se están buscando soluciones a $$r^5e^{5i\theta}+4r^3e^{-3i\theta}=0$$

Dos "solución ramas" son posibles: $r=0$ $r\ne0$ $$$$ Para $r=0$ la solución es, obviamente, el número de $0$ $$$$ Para $r\ne 0$,

$$r^5e^{5i\theta}+4r^3e^{-3i\theta}=0$$ Dividiendo por $r^3$ (desde $r\ne 0$) $$r^2e^{5i\theta}+4e^{-3i\theta}=0$$ $$\Rightarrow r^2e^{8i\theta}+4e^{0i}=0$$

$$\Rightarrow r^2e^{8i\theta}=-4e^{0i}=4e^{i\pi}=4e^{i(\pi+2k\pi)}$$ $$\Rightarrow r^2e^{8i\theta}=4e^{i(\pi+2k\pi)}$$ $$\Rightarrow r=2,\theta=\left(\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{2k\pi}{8}\right)$$ where $k=0,1,2,3,...,7$

Tenga en cuenta que $-1=e^{i\pi}$ $$$$

Así pues, todas las soluciones de la ecuación son $$z=0 , 2e^{i(\frac\pi8+\frac{2k\pi}8)}$$ where $k=0,1,2,3,...,7$