Hay una sencilla forma geométrica para demostrar que el círculo es tangente a la línea de $\overleftrightarrow {CD}$, donde $C=(3,-6)$, $D=(6,-2)$, y $B=(6,0)$? Me puede hacer esto mediante el uso de cálculo, pero creo que tiene que haber una mejor/más corto solución. Gracias de antemano.
Edit: he encontrado que $CE$ a pie $3$, por lo que tal vez se podría utilizar el teorema de Thales para obtener un ángulo recto en el triángulo $(0,-6), E,(6,-6)$ y el uso de este?
Extrapolar la línea hasta la intersección de ambos ejes de coordenadas. Los puntos de intersección son, a continuación,$(15/2,0)$$(0,-10)$.
La línea y los archivos exe ahora hacer un triángulo rectángulo cuyas piernas se $15/2$$10$. Ahora, aplicar el Teorema de Pitágoras, encontramos que el hypoteneuse es $25/2$ (proporcional a un triángulo rectángulo 3-4-5).
En un triángulo rectángulo, el área es la mitad del producto de las piernas y también la mitad del producto de la hypoteneuse y la altitud a la que hypoteneuse. Así que los productos deben ser iguales y debemos tener $(10)(15/2)=(25/2)x$ donde $x$ es la altitud a la hypoteneuse. A continuación, $x=6$ coincidente con la que el radio del círculo; la línea es tangente al círculo.
El círculo interseca la línea si el radio del círculo es al menos tan grande como la distancia desde el centro del círculo a la línea.
Medimos la distancia desde un punto a una línea en una dirección perpendicular a la línea. Al ver que la pendiente de la línea de $C$ $D$$\frac43,$queremos una línea desde el centro del círculo cuya pendiente es $-\frac34,$ es decir, la línea de $y = -\frac34 x.$
Ahora que el radio del círculo a lo largo de esa línea. La radio es $6.$ Desde la hipotenusa de un triángulo con las piernas $3$$4$$5$, podemos la escala de uno de esos triángulo por el factor de $\frac65$ encontrar el punto deseado en la línea de $y = -\frac34 x.$ Ese triángulo que tiene las piernas $\frac{18}{5}$ $\frac{24}{5},$ y la hipotenusa $6,$ lo que significa que el punto que estamos buscando es $\left(\frac{24}{5}, -\frac{18}{5} \right).$
Si ese punto está en la línea o en el lado opuesto de la línea desde el centro del círculo, entonces el círculo interseca la línea.
Como resulta, el punto de $\left(\frac{24}{5}, -\frac{18}{5} \right)$ es exactamente en la línea a través de $C$ $D,$ que se puede mostrar usando la geometría sin cálculo.
Posiblemente el más obvio enfoque es encontrar la ecuación de la línea y, a continuación, calcular la distancia desde el centro del círculo.
Hay fórmulas estándar para ese tipo de cosas, pero si no recuerda la fórmula de la distancia es bastante fácil derivar por la construcción de un triángulo rectángulo con su ángulo recto en el centro del círculo, su hipotenusa en la línea, y sus piernas paralelas a los ejes. (En este caso, de hecho, sus piernas están en los ejes.)
Hallar el área del triángulo de dos maneras: mediante la longitud de las piernas, y el uso de la longitud de la hipotenusa y la altura de la derecho-ángulo de vértice. Las áreas deben ser los mismos, por supuesto, ya que es el mismo triángulo. Resolver por la altitud, que es la distancia a la línea.
Y, sin embargo, otra alternativa:
Hallar el área del triángulo $\triangle ACD.$ El uso de esta área y el hecho de que $CD = 5,$ encontrar la altitud de $\triangle ACD$ desde el vértice $A.$ Si la altura no es mayor que $6,$ el círculo interseca la línea.
El círculo tiene equaton
la línea hase ecuación
a continuación podemos comprobar la intersección resolviendo el sistema de estas dos ecuaciones, es decir
$$x^2+\left(\frac43x-10\right)^2=36\implies x^2+\frac{16}{9}x^2-\frac{80}{3}x+100-36=0 \\implies25x^2-240x+576=0\implies(5x-24)^2=0 \implies x=\frac{24}{5} \quad y=-\frac{18}{5}$$
y ya que hemos encontrado que una solución única th eline es tangente al círculo en ese momento.
Tenga en cuenta que $\operatorname{Area}(\Delta DFE)=\operatorname{Area}(\square ABCD)-\operatorname{Area}(\Delta DCF)-\operatorname{Area}(\Delta EFB)-\operatorname{Area}(\Delta DEA)$ que da, desde $\overline{CF}=2,\overline{AE}=3,\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA}=6$: %#% $ $$\operatorname{Area}(\Delta DFE)=36-\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2-\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=15.$ #%. Por el % de Teorema de Pitágoras $15=\operatorname{Area}(\Delta DFE)=\frac{1}{2}\overline{EF}\cdot\overline{DG}$para que % $ $\overline{EF}=5$que iba a ser probada.
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