Cómo responder a las preguntas matemáticas de forma adecuada

Question

En mi clase de álgebra lineal, obtengo la respuesta y todo correcto pero pierdo puntos en la escritura matemática, símbolos, notaciones, etc... Hay algún libro o documento completo que proporcione una amplia explicación y ejemplos sobre cómo responder a las preguntas de la forma matemática adecuada?

Answer 1

Mencionas la escritura matemática y los símbolos/anotaciones. Aunque nunca he tomado un curso de álgebra lineal, aquí hay algunos consejos relevantes:

1. Asegúrese de que cada línea de trabajo tenga una relación significativa (símbolo) en ella. Esto te ayuda a etiquetar tus respuestas.
2. Si define sus propias anotaciones, explíquelo.
3. Organiza estéticamente tu trabajo.
4. No tengas miedo de mezclar el inglés (o el idioma en el que escribas) con las matemáticas.
5. Utilizar un vocabulario amplio y apropiado de la jerga matemática.

_{<em>Me ceñiré a los ejemplos de cálculo, porque es algo que conozco y que probablemente la mayoría de los lectores puedan seguir.</em>}

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1. Relaciones significativas y respuestas etiquetadas

Esta práctica es la más fácil de implementar y viene directamente de un instructor mío, así que la he puesto en primer lugar. No tengo la explicación más clara, pero conectar frases matemáticas sin un símbolo de relación es ilógico.

Diferenciar $\newcommand{\b}{\boldsymbol} \b{x^2+e}$ con respecto a $\b x$ .
$\newcommand{\r}{\color{red}}\qquad\qquad\quad\r{ 2x}$

Esta es una mala respuesta porque no hay una relación significativa especificada, a saber, la igualdad. Se necesita el signo de igualdad.

Diferenciar $\b{x^2+e}$ con respecto a $\b x$ . $$\newcommand{\g}{\color{green}} \g{\frac{d}{dx}\left(x^2+e\right)=2x}$$

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2. Explicar las notaciones

No puede dar por sentado que su alumno seguirá intuitivamente su enfoque de la resolución de problemas. Esto es especialmente cierto en el caso de la notación, donde no existen los absolutos. Por lo tanto, tienes que explicar el significado de cualquier notación que inventes (que no se haya dado en el problema).

Demostrar que $\b{\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) \, dt = f(x)}$ para la constante $\b a$ . $$\r{\frac{d}{dx}\bigl(F(x) - F(a)\bigr) = F’(x)-(F(a))’=f(x)}$$

El problema aquí es que el significado de $F$ no se ha explicado explícitamente. (Sí, se puede intuir el significado aquí pero eso no viene al caso). Además, el valor final $f(x)$ no se ha adjuntado a la integral inicial, por lo que al no haber un etiquetado adecuado, ¡todo es irrelevante! Una respuesta mejor podría ser algo así:

Demostrar que $\b{\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) \, dt = f(x)}$ para la constante $\b a$ .

$\g{\text{Taking $ F'(t)=f(t) $},}$ $$\begin{align} \g{\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt} &\g= \g{\frac{d}{dx}\left(F(t)\bigr|_a^x\right)} \\[2ex] &\g= \g{\frac{d}{dx}\bigl(F(x)-F(a)\bigr)} \\[2ex] &\g= \g{F’(x) - \frac{d\,F(a)}{dx}} \\[2ex] &\g= \g{F’(x)-0} \\[2ex] &\g= \g{f(x)} \end{align}$$ $\g{\text{since $ F(a) $ evaluates as a constant.}}$

El ejemplo anterior también demuestra el punto 3 al espaciar adecuadamente las líneas de trabajo y el punto 4 con su último corolario.

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3. Organice estéticamente su trabajo

¡No tengas miedo de usar un montón de papel! (Te prometo que la deforestación de los ecosistemas exuberantes no la causan los matemáticos, sino los codiciosos capitalistas que compran parcelas del Amazonas en las que aplican la agricultura de tala y quema y que abandonan tras una temporada de soja).

Así es como registro mis respuestas en los exámenes de matemáticas:

Esta configuración me permite utilizar tinta (que es más visible), pasar de una pregunta a otra, etc., porque simplemente tacho el trabajo erróneo con una sola línea y consigo más papel cuando lo necesito.

Si haces cosas con matrices, podrías invertir en papel cuadriculado.

NO Intenta resolver un problema completo en el espacio en blanco bajo la indicación. Eso es un lío.

Además, asegúrese de alinear su escritura adecuadamente.

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4. Mezclar el lenguaje hablado

A veces, una mezcla entre el lenguaje hablado y la notación matemática resulta ventajosa como forma más natural de comunicarse. Quieres que tus matemáticas y tu lenguaje se complementen entre sí.

¿Cuál es la definición de límite? $$\r{\lim_{x\to c}f(x)=L \iff \forall\epsilon>0:\exists\delta>0:\lvert x-c\rvert<\delta\Rightarrow\lvert f(x)-L\rvert<\epsilon}$$

Si fueras un graduado, ¿podrías usted (a) dedicar tiempo a ordenar ese desorden y (b) estar satisfecho de que usted, el estudiante, tenga una comprensión de de lo que sea ese lío?

¿Cuál es la definición de límite?

$\newcommand{\G}[1]{\color{green}{\text{#1}}} \G{Let $ f(x) $ be a function,}$ $\G{and let $ c $}$ $\G{be an $ x $-value}$ $\G{to approach.}$ $\G{It is}$ $\G{dened that}$ $\G{$ \lim_{x}a c}f(x)=L$}\G{if the values}\G{of $f(x)$ get}\G{arbitrarily closer to $L$}\G{(generally notated }\G{as $\lvert f(x)-L\rvert<"\epsilon"$)}\G{when $x$ gets}\G{arbitrarily closer}\G{to $c$ (generally}\G{notated as}\G{$\lvert x-c\rvert<"\delta"$).}$

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5. Aumenta tu vocabulario matemático

Evidentemente, necesitas conocer los términos de la unidad que estás estudiando, pero además de eso, hablar como un matemático demostrará al calificador que estás bien informado y aclarará tus explicaciones.

Algunos términos que me vienen a la mente son:

• si y sólo si (si / $\iff$ )
• para algunos ( $\exists$ )
• para todos ( $\forall$ )
• implica ( $\implies$ )
• arbitrario

_{<em>Invito a otros usuarios a ampliar esta lista con lo que se les ocurra.</em>}

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Espero que estos consejos te ayuden, y ampliaré esta respuesta a medida que se me ocurran más ideas.

Answer 2

No tengo recomendaciones bibliográficas, pero daré una impresión de mis ideas personales. Nota: Soy un estudiante, no un profesor, así que esto será una mezcla de mis opiniones y mi experiencia de lo que funciona bien con los "profesores del mundo real". ;)

La mayoría de las preguntas en un curso de matemáticas piden una demostración. Si no lo hacen, suelen pedir que se simplifique una determinada expresión para obtener un valor, lo que puede considerarse una pregunta de demostración simplemente dando una prueba de que tu respuesta es correcta. En las preguntas de prueba, creo que los aspectos más importantes de la calidad son claridad y rigor .

Claridad

La claridad consiste en asegurarse de que el lector entiende realmente lo que se está tratando de explicar. Dado que una demostración (en cualquier cosa que no sea lógica formal) no es más que una explicación a un matemático de por qué una afirmación es correcta, es importante que este lector entienda lo que está diciendo. Esto implica definir cualquier notación o variable nueva que introduzcas y enlazar adecuadamente tus ideas en inglés (o en el idioma que utilices).

Recuerda que está bien que tu respuesta sea una mezcla de símbolos y texto normal, y que puedes usar esto a tu favor. Si ves que una determinada igualdad se mantiene para las razones A y B, di algo como "Tenemos la igualdad $\ldots = \ldots$ porque A y B". Si puedes demostrar tu igualdad utilizando unos pocos pasos intermedios ( $\ldots = \ldots = \ldots = \ldots$ ), pero una de las igualdades requiere alguna explicación, haz una pequeña marca sobre el signo de igualdad correspondiente (por ejemplo $\stackrel{\star}=$ ) y después explicar por qué la igualdad en $\star$ se mantiene.

Rigor

El rigor consiste en asegurarse de que cada paso que das es claramente cierto. Si la afirmación que tienes que demostrar fuera obvia, podrías decirlo y listo, pero normalmente (¿siempre? La educación parece funcionar así) no es así, así que tendrás que explicar por qué (O por qué los valores dados son iguales, o por qué tu respuesta es correcta, etc.)

En matemáticas, una prueba es realmente una serie de afirmaciones, cada una de las cuales se desprende claramente de las afirmaciones anteriores, la última de las cuales es la cosa que se requiere demostrar y la primera son las cosas que se permiten asumir. [1] A menudo podrás omitir tus suposiciones en la prueba en un examen, pero para la estructura, para asegurarte de que no estás olvidando ninguna suposición, y para permitir que el profesor compruebe si lees las suposiciones en la pregunta correctamente, podría ser útil escribir tus suposiciones explícitamente antes de empezar con tu prueba.

Entonces, en la prueba, como se ha dicho anteriormente, cada una de las afirmaciones que hagas, cada una de tus afirmaciones, debe seguirse "obviamente" de tus afirmaciones anteriores. Qué pasos son obvios y cuáles no lo son depende completamente de tu experiencia matemática y de tu exposición al tema específico que estás estudiando, pero en general me gusta decir que si sientes que necesitas decir explícitamente que algo es "trivial", aparentemente piensas que es fácil, así que también debería ser fácil escribir una prueba real. :) Si crees que necesitas recurrir a argumentos intuitivos, probablemente merezca la pena intentar dar un argumento formal de todos modos, que no utilice nada más que la lógica y los teoremas que puedes asumir como verdaderos. (Una verdad básica también es un teorema, por supuesto; no necesitarás argumentar por qué $3 + 5 = 8$ ya que eso se desprende de la definición de adición que se espera que su lector conozca. En álgebra lineal, tampoco necesitarás argumentar por qué, para una matriz $A$ y un vector $v$ , $Av = \vec 0$ implica que $v \in \mathrm{ker}A$ ya que la definición del núcleo de una matriz es suficiente para dejarlo claro).

Reunir todo, y más

La claridad y el rigor tienen mucho que ver, por supuesto, y sólo juntos hacen una buena prueba. Descomponer tu argumento en pasos sencillos que sean claramente verdaderos seguramente ayudará a la claridad, ya que esos pasos sencillos no requerirán ninguna explicación complicada. Pero explicar claramente lo que estás haciendo y por qué funciona también debería ayudar al rigor, ya que es mucho más probable que una buena explicación convenza al lector de que lo que crees que es correcto es realmente correcto; y convencer al lector de que tu argumento es correcto es realmente convencerle de que la afirmación que estás demostrando es correcta, que era el objetivo de tu prueba en primer lugar.

Por supuesto, hay otros aspectos a tener en cuenta, como una buena estructura, es decir, un diseño estético y sencillo. Si escribes expresiones matemáticas largas, dales su propio espacio: no las escribas en línea con el texto, ya que eso sólo reduce la claridad visual. Pero si tienes una expresión matemática corta que realmente tiene sentido leer en medio de una frase, escríbela sin problemas en línea; al fin y al cabo, así es como se supone que el lector debe leer tu frase.

También es importante utilizar el vocabulario adecuado: no expliques un concepto en términos generales cuando hay un término bien definido que significa lo que quieres decir. Pero no exageres: si es realmente más claro utilizar un lenguaje menos denso, hazlo. Si el profesor estuviera evaluando tu dominio de la terminología, te lo habría pedido explícitamente, no te habría pedido esta prueba.

A veces, en las pruebas más largas o que utilizan la inducción, primero se hace una afirmación y sólo después se demuestra esa afirmación, tras lo cual se utiliza el hecho de que la afirmación era cierta para trabajar el resto de la prueba. Esto puede parecer que no encaja directamente en el modelo descrito anteriormente de una serie de afirmaciones en las que cada una se sigue de las últimas, pero sí lo hace si ves esta afirmación y su demostración como un teorema separado (que sólo se enuncia y demuestra "por casualidad" en medio de tu prueba), tras lo cual invocas tu afirmación, siendo entonces obvia porque es un teorema ya demostrado. En las pruebas que utilizan la inducción, esto suele ocurrir con las dos subpruebas de la base de la inducción y el paso de la inducción, pero por lo demás esto suele reservarse sólo para pruebas más complicadas que probablemente no escribirás en un examen. Pero conocer la técnica es útil, ya que puede ser útil de vez en cuando.

Practica

Espero que lo anterior te ayude un poco. Si puedes, practica mucho y haz que lean tus pruebas, por ejemplo, estudiantes mayores o profesores, si puedes conseguir que lo hagan (pista: es más probable que lean una prueba corta y clara que una prueba larga y enrevesada, lo que remite exactamente a los puntos que he mencionado antes). En mi experiencia, la redacción de pruebas es sólo experiencia y heurística; normalmente hay innumerables formas de escribir una prueba matemática concreta. Pero, por otro lado, muchos matemáticos tienen (en sus mentes) ideas bastante claras y fuertes sobre qué pruebas son buenas y qué pruebas no lo son, y a medida que madures matemáticamente, aprenderás cómo convencer a otros matemáticos de manera eficiente y qué pruebas usted como para leer. Mezcla ambas cosas y puede que produzcas una buena prueba.

[1]: Consejo: ¡haz un curso de lógica formal! Allí aprenderás a hacer esto realmente formalmente, especificando exactamente qué enunciados anteriores está utilizando, y por qué (es decir, utilizando qué regla de inferencia) el enunciado actual se sigue de los anteriores.

(EDIT: Nota [1] y párrafo sobre las reclamaciones en las pruebas)

Answer 3

Llevo un poco más de tres años haciendo matemáticas, también hago algunas correcciones de las clases de primer año y una de las cosas más difíciles con las que he luchado en ocasiones es cómo escribir mis soluciones.

Para que quede claro lo que sucede en las matemáticas, el punto clave es sí encontrar las soluciones correctas, pero a diferencia de la mayoría de las otras clases, eso no es suficiente, ya que deseamos enseñarte a comunicar la solución correcta de manera comprensible.

Aunque estoy de acuerdo con los otros carteles añadiendo el lenguaje matemático en el contexto correcto puede ayudar a ahorrar tiempo o hacer una solución más agradable estéticamente que realmente no es lo que se trata.

Cuando escriba su solución, comunique lo que está pensando, por ejemplo, diga "voy a hacer X por Y" y luego diga, por ejemplo, que esta no es la solución porque (razón) debemos hacer Z, y luego haga Z y diga "así" o "por lo tanto" o "por lo tanto", esta es la solución.

Escribir tus soluciones en palabras o tecnobables no es importante, sino comunicar que realmente entiendes la conclusión a la que has llegado y que no la has copiado, por ejemplo, comunicando tu proceso de pensamiento al marcador conseguirás las marcas que estás perdiendo, y en el caso de que tengas todo el método correcto pero cometas un pequeño error aritmético que resulte en una respuesta incorrecta, todavía puedes conseguir 3, incluso 3,5/4 puntos en una pregunta si está claro que has entendido el método pero sólo has cometido un pequeño error (algo por lo que puede que no consigas ninguna marca en la clase de antropología).

A corto plazo, también puedes ir a tu profesor o al centro de ayuda de matemáticas y decir: "Creo que tengo la solución correcta, ¿cómo puedo comunicarla de manera que obtenga la máxima puntuación?

Answer 4

El mejor consejo que puedo darte es que, después de escribir tu respuesta, la leas detenidamente e intentes encontrar los cabos sueltos, es decir, cuando escribas una frase hazte estas dos preguntas: (1) ¿Por qué has escrito esta frase? (se trata de comprobar si la frase es en absoluto necesaria o no) (2) ¿por qué la frase es válida? (explicación de la frase). Ahora la parte más importante: ¿está la explicación a la pregunta (2) escrita en tu respuesta? La parte fundamental es que debes dar razones detrás de tus afirmaciones y lo más importante, los errores que cometen los novatos: comprueba si has mencionado claramente qué elemento pertenece a qué conjunto y antes de usar un alfabeto para denotar algo, indícalo. Por ejemplo, si escribes "Que $x \in V$ ", su respuesta debe contener una frase como "Sea V un espacio vetor sobre el campo F" antes de escribirla. En resumen, tu respuesta debe ser completa en las explicaciones, es probable que te penalicen si no estás escrito al punto y con razones. Utiliza también frases completas con una gramática adecuada.

Answer 5

Has pedido un libro. Bueno, el de Kevin Houston "Cómo pensar como un matemático: Un compañero para las matemáticas de pregrado" parece una buena opción.

Para más información, consulte su sitio web para el libro, donde junto a los capítulos de muestra también puede encontrar un pdf de soluciones.