¿No existe ningún polinomio entero univariante que tome los mismos valores positivos que el polinomio multivariante $x^2+y^2$ ?

Question

¿No existe ningún polinomio entero univariante que tome los mismos valores positivos que el polinomio multivariante $x^2+y^2$ ?

Los valores son números tales que cada factor primo de la forma $4k+3$ ocurre un número par de veces .

¿Cómo demostrar que ningún polinomio univariante produce los mismos valores positivos? O si hay uno, ¿cuál es?

Answer 1

No. Estoy seguro de que hay una manera mejor de hacer esto, pero si el grado $d$ de la univariante polinomio es 2 o más, el número de representados los números hasta algunos positivo vinculado $N$ no es más grande que aproximadamente un número constante de veces $N^{1/d},$ debido a un polinomio univariado está dominado en el tamaño de su más alto grado plazo. En comparación, el número de representados los números, por $x^2 + y^2,$ es asintóticamente $$ \frac{0.7642... \; N}{\sqrt {\log N}}. $$ I like to think of this as roughly the geometric mean of $N$ and the number of primes up to $N.$ The proof is the final section of the final chapter of Volume 2 of Topics in Number Theory by William J. Leveque, inexpensive and available for sale HERE. The constant I have written as $0.7642... \;$ is given on page 261 by an infinite product, and is called $B$ allí. El resultado se llama Teorema de 7-28.

Así que usted no tendrá lineal de los polinomios $a x + b.$ Estos representan demasiado, como en, simplemente, $x,$ o demasiado y demasiado poco, decir $4 x + 1.$, En cualquier caso, la forma asintótica de la densidad es demasiado alta.

Un poco de cultura. El mismo tipo de comportamiento asintótico de trabajo para cualquier integral de forma positiva, y cualquier degenerada de forma indefinida $a x^2 + b x y + c y^2$ $b^2 - 4 a c > 0 $ pero no un cuadrado. Por supuesto, aquí nos están preguntando sobre el conteo de números representados entre $-N$ $N.$ También, no podemos preguntar sobre el número de representaciones de un número dado, que se convierte en infinito.

Hay un pequeño truco con el degenerado indefinido de formas, tales como $x^2 - y^2.$, Ya que esto factores en $(x-y)(x+y),$ podemos tomar $x = y+1$ a representar cada número impar como $2y + 1.$ También, cada múltiplo de 4$x = y+2$ $4y + 4.$ sin Embargo, lo que podemos hacer, no podemos representar cualquier número $n$ $n \equiv 2 \pmod 4,$ que es el doble de un número impar, ya sea positivo o negativo. Así que, a pesar de que hemos logrado densidad lineal, aún no existe una sola univariante polinomio que representa estos números y sólo estos números. Necesitamos combinar, por ejemplo en una variable $t,$ separado polinomios $4t$ $2t+1.$