No estoy muy seguro si esta pregunta es solucionable (en cierto modo me acaba de ocurrir ayer), pero cuando le de fuerza bruta de las respuestas numéricas en mi equipo parecen mostrar un patrón, por lo que creo que es solucionable.
La pregunta: he a $N$ de personas en un estadio, y hay $5$ diferentes colores de camisas. Cada persona tiene la misma oportunidad de usar cualquiera de los colores de las camisetas. (es decir, es igualmente probable que usted va a encontrar a un chico con una camisa de color negro, de azul o rosa o gris o marrón camisa). El amor de dios, de repente se empieza a reproducir la música en todo el estadio, y cada persona con la que de repente tiene un unresistable deseo pareja con una persona que es el uso de un mismo color de la camisa. Encontrar la probabilidad de que nadie se queda solo. (equivalente a preguntar a encontrar la probabilidad de que el número de personas vestidas de cada color es un número par).
Trivial Observaciones: Si $N$ es impar, entonces la probabilidad es $0$, sólo si $N$ es la probabilidad finita. De hecho, (para el caso en que no se $5$ diferentes colores de camisas), si $N$ es impar, los colores pueden terminar con sólo $3$ combinaciones (de todos los impares, $3$ extraño $2$ a, $4$ extraño $1$) y para $N$ es incluso - (todas, incluso, $4$ extraño $1$ a, $2$ extraño $3$, incluso).
Un (aparentemente crucial) observación: parece que si aumento de $N$ a una cantidad arbitrariamente grande, que la probabilidad de que todos los colores son incluso al final debe asíntota para un cierto valor, porque el grueso de la mayoría de la gente sólo de pareja. Empecé mi solución, tratando de demostrar este punto. Para ello, he asumido que en el principio todo lo $100$ de las personas estaban sin camisa, y que habría que añadir las camisetas a la gente uno por uno. Vamos a mantener un 'lonely contador' que realiza el recuento de todas las personas solitarias, y el momento en que alguien se emparejado inmediatamente se olvidan de memoria para que todos nos importa. Para la primera persona, el color de la camisa que él elige es arbitraria, porque definitivamente va a ser un solitario, por lo que nuestro solitario contador está a $1$. La siguiente persona tiene un $0.2$ probabilidad de acertar la misma camisa con la primera persona (en este caso el solitario contador de gotas de a $0$), y un $0.8$ de probabilidades de escoger un color diferente (en este caso el solitario contador sube a $2$). El máximo solitario valor de contador es $5$, y para el caso de que queramos $0$ personas solas, en el momento en que se realiza la asignación de la camisa de valores para todos los solitarios contador debe ser de nuevo en $0$. Para poner a prueba mi teoría asintótica, ya casi me ponen este 'lonely contador' en excel para ver lo que sucede
En $N = 0$, el solitario contador es $0$ $100\%$ de probabilidad (sin personas a su alrededor). En $N = 1$, el solitario contador es $1$ $100\%$ probabilidad (1 persona por sí mismo sin duda solitario). En $N = 2$, el solitario contador es $0$ $0.2$ de probabilidad, y $2$ $0.8$ de probabilidad (como se explicó anteriormente). Con las matemáticas y excel magia corrí los datos a lo largo, y, de modo admirable, la posibilidad de que el solitario contador $0$ asymptoted hacia un valor de $6.25\%$. Luego probé de diferentes números de las camisetas, y se encontró una tendencia, por lo menos que arruiné mi las matemáticas, entonces creo que
$$ P = \dfrac{1}{2^{p-1}} $$
Para un gran $N$, y donde $p$ es el número de camisetas. Traté de usar mi solitaria contador para probar realmente el resultado, sin embargo, y estoy atascado ahora, y no muy seguro de a dónde ir desde aquí. Cualquier ayuda es muy apreciada.
