Relación transformación de Fourier/Laplace

Question

Tengo una pregunta acerca de la relación entre la transformada de Fourier y las transformadas de Laplace.

He visto en algunos lugares que la transferencia de funciones en el espacio de Laplace son representados como $G(s)$ donde $s$ es la variable en el dominio de la frecuencia (de Laplace). En otros lugares he visto que las funciones de transferencia son representados como $G(iw)$ donde $w$ es la frecuencia en el espacio de Fourier y $i$ la unidad imaginaria.

Me pregunto cómo esta relación se aplica debido a que en algunos lugares se supone que la relación entre las dos frecuencias es $s=\sigma+iw$. Pero, ¿qué es $\sigma$, y por qué a veces es ignorado?

Si la relación se $s=iw$ mantendría a ser verdad, que significa que podemos transformada de Laplace mediante la multiplicación de los datos de los tiempos de $i$ y hacer la FFT?

Answer 1

Es conveniente comenzar con el complejo de la transformada de Laplace.

La transformada de Fourier de \begin{eqnarray*} \tilde{f}(\omega ) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }dt\exp [i\omega t]f(t) \\ f(t) &=&\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }d\omega \exp [-i\omega t]% \tilde{f}(\omega ) \end{eqnarray*} El complejo de la transformada de Laplace $$ \hat{f}(z)=\int_{0}^{+\infty }dt\exp [izt]f(t),\;{Im}z>0 $$ Con $\theta (t)$ la función de paso de $$ \hat{f}(z)=\int_{-\infty }^{+\infty }dt\theta (t)\exp [izt]f(t) $$ Vamos $z=\omega +ia$, $a>0$. Entonces $$ \hat{f}(\omega +ia)=\int_{-\infty }^{+\infty }dt\exp [i\omega t]\theta (t)\exp [-a]f(t) $$ por lo $\hat{f}(\omega +ia)$ es la transformada de Fourier de $\theta (t)\exp [-a]f(t)$ y $$ \theta (t)\exp [-a]f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }d\omega \exp [-i\omega t]\hat{f}(\omega +ia) $$ A partir de este que se ve que la transformada de Laplace es esencialmente equivalente a la transformada de Fourier del producto de la función de paso y $f(t)$.

Answer 2

Si $f \in L^{2}[0,\infty)$, $\mathscr{L}\{f\}$ es holomorphic en la mitad derecha del plano donde $\Re s > 0$. y la transformada de Laplace es de cuadrado integrable en todas las líneas verticales en la mitad derecha del plano, con $$ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\mathscr{L}\{f\}(v+iw)|^{2}dw \le \int_{0}^{\infty}|f(t)|^{2}dt,\;\;\; 0 < v < \infty. $$ La transformada inversa de Laplace puede ser computada por una inversa de la transformada de Fourier de $\mathscr{L}\{f\}$ sobre cualquier línea vertical en la mitad derecha del plano -. De hecho, la sección de $l_{v}(w)=\mathscr{L}\{f\}(v+iw)$$L^{2}$$v\downarrow 0$, y $$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{tvn}\mathscr{L}\{f\}(0^{+}+iw)dw. $$ Este es el Paley-Wiener Teorema. El más fuerte, el resultado es el siguiente

Teorema [Paley-Wiener]: Vamos a $F$ ser un holomorphic función en la mitad derecha del plano de $\Re s > 0$. A continuación, $F$ es la transformada de Laplace de una función de $f \in L^{2}[0,\infty)$ fib $F$ es de cuadrado integrable en cada línea vertical en la mitad derecha del plano y existe una constante $M$ tal que $$ \int_{-\infty}^{\infty}|F(v+iw)|^{2}dw \le M. $$ Para cualquier $F$, el límite de $\lim_{v\downarrow 0}F(v+iw)=F_{0}(w)$ existe en $L^{2}(\mathbb{R})$ y $$ f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_{0}(w)dw. $$

El espacio de holomorphic funciones, como se describe anteriormente se conoce como el espacio de Hardy $H^{2}(\Pi_{+})$ donde $\Pi_{+}$ es la mitad derecha del plano. $H^{2}(\Pi_{+})$ es un espacio de Hilbert.