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Comportamiento deanxn dado|anan1|<

Permita que(an)n=0 sea una secuencia de números reales que satisfaga1|anan1|<

¿Cuál de las siguientes conclusiones debe ser verdadera?

La serieanxn converge

  1. En ninguna parte enR
  2. En todas partes elR
  3. En algún intervalo que contenga(1,1)
  4. Sólo en (1,1)

Lo que he intentado es crear una desigualdad con|ab||a|+|b| ... pero no puedo continuar. Cualquier tipo de ayuda será profundamente apreciable.

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user254665 Puntos 4075

Que $K=\sum_{n=1}^{\infty}|an-a{n-1}|.n\geq 1tenemos$|a_n|\leq |a_0|+|a_n-a_0|= |a0|+|\sum{j=0}^{n-1}(aj-a{j+1})|\leq |a0|+\sum{j=0}^{n-1}|aj-a{j+1}| \leq |a_0|+K.

Así $\sup {|a_n|:n\geq 0}\leq |a_0|+K

Por lo tanto n=0anxn converge cuando $|x|

La respuesta correcta es la #3. Caso #4 es falsa si a_n=0 cada n. (Caso #4 también es falso si a_n=1/n! para cada n, cuando la serie de potencias converge para todos x.) Caso #2 es falso si a_n=1 para cada n, y x=1. (Caso #2 también es falso si a_n=1+\frac {1}{n+1} cada n, y |x|\geq 1.)

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