Comportamiento de$\sum a_n x^n$ dado$\sum |a_n - a_{n-1}| < \infty$

Question

Permita que$(a_n)_{n=0}^{\infty}$ sea una secuencia de números reales que satisfaga$\sum_{1}^{\infty} |a_n - a_{n-1}| < \infty$

¿Cuál de las siguientes conclusiones debe ser verdadera?

La serie$\sum a_nx^n$ converge

1. En ninguna parte en$ \mathbb{R}$
2. En todas partes el$ \mathbb{R}$
3. En algún intervalo que contenga$(-1,1)$
4. Sólo en $(-1,1)$

Lo que he intentado es crear una desigualdad con$|a -b| \leq |a| +|b|$ ... pero no puedo continuar. Cualquier tipo de ayuda será profundamente apreciable.

Answer 1

Que $K=\sum_{n=1}^{\infty}|an-a{n-1}|.$ $n\geq 1$ tenemos $$|a_n|\leq |a_0|+|a_n-a_0|= |a0|+|\sum{j=0}^{n-1}(aj-a{j+1})|\leq |a0|+\sum{j=0}^{n-1}|aj-a{j+1}| \leq |a_0|+K.$ $

Así $\sup {|a_n|:n\geq 0}\leq |a_0|+K

Por lo tanto $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n $ converge cuando $|x|

La respuesta correcta es la #3. Caso #4 es falsa si $a_n=0$ cada $n$. (Caso #4 también es falso si $a_n=1/n!$ para cada $n$, cuando la serie de potencias converge para todos $x.$) Caso #2 es falso si $a_n=1$ para cada $n,$ y $x=1$. (Caso #2 también es falso si $a_n=1+\frac {1}{n+1}$ cada $n,$ y $|x|\geq 1.$)