Encuentre el conjunto de valores de$\lambda$ para los cuales la ecuación$|x^2-4|x|-12|=\lambda$ tiene 6 raíces reales distintas

Question

Encontrar el conjunto de valores de $\lambda$ para el cual la ecuación de $|x^2-4|x|-12|=\lambda$ 6 distintas raíces reales

Mi Planteamiento:

$|x^2-4|x|-12|=\lambda$

Caso 1:

$x^2-4|x|-12=\lambda$

• Si $x\geq 0$
  $x^2-4x-12=\lambda\cdots(i)$

• Si $x<0$ $x^2+4x-12=\lambda\cdots(ii)$

Caso 2:

$x^2-4|x|-12=-\lambda$

• Si $x\geq 0$
  $x^2-4x-12=-\lambda\cdots(iii)$

• Si $x<0$ $x^2+4x-12=-\lambda\cdots(iv)$

Ahora, sabemos que la ecuación tiene 6 distintas raíces reales. Tan solo 3 ecuaciones tienen raíces reales que son todos distintos, o, algunas raíces son comunes. Yo no ahora cómo resolver más y necesito una sugerencia para continuar.

Answer 1

Insinuación:

ps

$$|x^2-4|x|-12|=\lambda$ $$$y=|x^2-4|x|-12|$ $ Respuesta:$$y=\lambda$ $

Answer 2

puedes trazar el$|x^2-4|x|-12|$

entonces es fácil encontrar$$12<\lambda<16$ $

Answer 3

$\lambda$ obviamente debe ser no negativo. A continuación, asumir

• $x\ge0$ y

  1. $x^2-4x-12-\lambda=0$. Las raíces se $x=2\pm{\sqrt{16+\lambda}}$, pero sólo el $+$ firma es válida. Para todos los $\lambda$, uno de raíz.

  2. $x^2-4x-12+\lambda=0$. Las raíces se $x=2\pm{\sqrt{16-\lambda}}$. Ambos son positivos y distintos de los de $12<\lambda<16$.

• $x\le0$ y

  1. $x^2+4x-12-\lambda=0$. Las raíces se $x=-2\pm{\sqrt{16+\lambda}}$, pero sólo el $-$ firma es válida. Para todos los $\lambda$, uno de raíz.

  2. $x^2+4x-12+\lambda=0$. Las raíces se $x=-2\pm{\sqrt{16-\lambda}}$. Ambos son negativos y distinta para $12<\lambda<16$.

En conclusión, para $12<\lambda<16$, hay tres positivos y tres negativos de las raíces.