¿Cuándo convergen o divergen$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{n^{1+a\sin(bn)}} $ y$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{n\ln^{1+a\sin(bn)}(n)} $?

Question

Es bien conocido que $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{n^{1+c}} $ y $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{n\ln^{1+c}(n)} $ convergen para $c > 0$ y divergen para $c \le 0$.

Esto me puso a preguntarse ¿qué pasaría si $c$ variada. La opción obvia es $c = a\sin(bn)$ donde $b$ no es un varios de $\pi$.

Así que esa es mi pregunta:

Cuando las condiciones en $a$ $b$ hacer $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{n^{1+\sin(bn)}} $ y $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{n\ln^{1+\sin(bn)}(n)} $ convergen o divergen?

No tengo la menor idea.

Answer 1

Es fácil comprobar que, si $b$ es un racional múltiples de $\pi$, entonces la serie diverge. Así que vamos a centrarnos en el caso de que $b$ no es un racional múltiples de $\pi$. Le damos un poco una respuesta general.

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Con cualquier secuencia $(a_n)$$s_n = a_1 + \cdots + a_n$, podemos aplicar la suma por partes para obtener

$$ \sum_{n=1}^{N} \frac{a_n}{n} = \frac{s_N}{N} + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{s_n}{n(n+1)}. $$

Ahora vamos a $f$ $2\pi$- periódico función continua y establecer $a_n = n^{-f(bn)}$. También se supone que hay un intervalo de $J$ $[0,2\pi]$ tal que $f \leq 0$$J$. Entonces tenemos

$$ \frac{s_n}{n} \geq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \mathbf{1}_J(bn \text{ mod } 2\pi). $$

Así que si $b$ no es un racional múltiples de $\pi$, luego por el teorema de equidistribución obtenemos

$$ \liminf_{n\to\infty} \frac{s_n}{n} \geq \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \mathbf{1}_J(bn \text{ mod } 2\pi) = \frac{|J|}{2\pi}. $$

Conectando de nuevo a nuestro sumación por partes consecuencia,

$$ \sum_{n=1}^{N} \frac{a_n}{n} \geq \sum_{n=1}^{N-1} \frac{\frac{|J|}{2\pi} + o(1)}{n+1} \xrightarrow[N\to\infty]{} \infty. $$

Para nuestro caso $f(x) = a\sin (x)$, se puede elegir cualquiera de las $J = [0, \pi]$ o $J = [\pi, 2\pi]$ dependiendo del signo de $a$.