¿En una categoría, tiene el morfismo de composición que existen?

Question

He revisado este popular tutorial acerca de la categoría de teoría después de algún tiempo y me di cuenta de que justo en el principio hay una declaración acerca de lo que una categoría es:

En una categoría, si hay una flecha que va de a a B, y una flecha que va de B a C, entonces también debe ser directa flecha de a a C, que es su composición.

Es cierto que en un estándar de categoría? Todo este tiempo yo estaba feliz con mi composición de la función

$$\circ : \operatorname{Hom}_\mathcal{C}(A,B)\times\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(B,C)\to\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(A,C)$$

A mi entender esta función nunca se quejó cuando el codominio fue el conjunto vacío. Estaba operativo en algo que no es una categoría? O es la declaración en el tutorial de una simplificación excesiva y estoy siendo demasiado pedante?

Answer 1

Si el codomain es el conjunto vacío y el dominio no es, el mapa de la composición no puede existir ya que no hay ningún mapa de un conjunto vacío no en el conjunto vacío. Por lo tanto, la existencia de un mapa de composición elimina esta situación.