Dualidad de Poincare en la (co) homología de grupo

Question

Mi comprensión de la dualidad de Poincaré (vía wikipedia) es que para un $n$-dimensiones orientable cerrado colector $X$, para cualquier coeficiente de anillo de $R$, hay un isomorfismo $$H^k(X,R)\cong H_{n-k}(X,R)$$ Aquí, el artículo de wiki dice que este isomorfismo depende de hacer una "elección de la orientación con respecto al coeficiente de anillo de $R$", que aquí estoy interpretar como El isomorfismo existe siempre, pero la elección de isomorfismo depende de la elección de la orientación.

Es esto correcto?

Suponiendo que lo anterior es correcto, entonces si $Z$ es un contráctiles orientable espacio, y $G$ es un grupo que actúa libremente en $Z$, $Z/G$ es la clasificación de espacio para $G$.

Es cierto que $H^i(Z/G,R)\cong H^i(G,R)$, e $H_i(Z/G,R)\cong H_i(G,R)$? (donde $H^i(G,R),H_i(G,R)$ es el grupo cohomology, con $R$ visto como su subyacente abelian aditivo grupo con trivial $G$-acción).

Si las cosas están correctas (por favor corríjanme si estoy cometer errores!), a continuación, la dualidad de Poincaré debería dar algo no trivial de las relaciones entre el grupo cohomology y del grupo de homología.

Por ejemplo, si $G$ actúa libremente sobre un orientable contráctiles espacio de dimensión 2, entonces para cualquier anillo de $R$ (identificados con su subyacente aditivo grupo), la central de extensiones de $G$ $R$ (clasificado por elementos de la $H^2(G,R)$) debe ser en bijection con elementos de $H_0(G,R)\cong R$ -, pero esto es definitivamente falso, ya que si $G$ ha trivial Schur multiplicador, uno puede calcular que el %de$H^2(G,R) = 0$para cualquier anillo de $R$.

Donde he ido mal?

Sospecho que la comparación entre el $H_i(Z/G,R)$ $H_i(G,R)$ $H^i(Z/G,R)$ $H^i(G,R)$ debe ser más sutil de lo que yo esperaba. Aún así, hay ejemplos de teoremas que el uso de la dualidad de Poincaré (u otras propiedades de singular (co)homología) para producir resultados no triviales en grupo (co)homología?

Hay una buena referencia que trata de la comparación entre el grupo (co)homología y el singular (co)homología de la clasificación de los espacios en detalle?

EDIT: En respuesta a algunos de los comentarios, supongo que parte de la pregunta es Para que los grupos de $G$ (estoy principalmente interesado en grupos finitos y el fundamental de los grupos de superficies de Riemann) se puede encontrar una contráctiles colector $Z$ que $G$ actúa libremente y cocompactly?

Answer 1

Voy a la dirección de su "editar" en la pregunta: "Para que los grupos de $G$ puede uno encontrar un contráctiles colector $Z$ que $G$ actúa libremente y cocompactly?" (Supongo que usted también quiere asumir "correctamente de forma discontinua" para obtener Hausdorff cociente espacios.)

Una muy buena (incluso si la fecha) referencia de esta pregunta es el Capítulo 8 de Ken Brown del libro "Cohomology de grupos". Una condición necesaria para la existencia de una $n$-dimensiones del colector es que $G$ $n$- dimensiones de la dualidad de Poincaré grupo (a $PD(n)$ del grupo) de tipo $F$. Equivalentemente, existe un número finito de $K(G,1)$ $H^i(G, {\mathbb Z}G)\cong {\mathbb Z}$ $i=n$ y cero en caso contrario. Es un famoso problema abierto (debido a la C. T. C. de la Pared) que el converso tiene así. (Para ser más precisos, de la Pared que pedían $G$$PD(n)$, no asumir que $G$ admite un número finito de $K(G,1)$; Mike Davis construido ejemplos para todas las $n\ge 4$, lo que muestra que la última condición no es necesaria). Esta conjetura es conocido por ser cierto para $n=1$ (eso es fácil), para $n=2$ (muy duro: Eckmann, Linnell y Muller, 1982), y está abierta a $n\ge 3$. Rob Kirby se analiza esta conjetura en gran detalle en su lista de problemas de la topología. Para $n\ge 5$ la conjetura es una parte de uno de los problemas centrales en las dimensiones superiores del colector de la topología, es decir, la Borel Conjetura. La más profunda (en mi mente) resultado hasta ahora es que la Pared de la conjetura tiene hiperbólico grupos con límite homeomórficos a $S^{n-1}$, $n\ge 6$. Esto es debido a Barthels, Lueck y Weinberger, ver aquí. Si tuviera que adivinar, en la Pared de la conjetura es verdadera para $n=3$ y es falsa por $n\ge 5$. Ni idea de lo que sucede en el medio ($n=4$).

Ahora, como para su paranthetical pregunta "estoy interesada en grupos finitos y el fundamental de los grupos de superficies de Riemann", esa parte es fácil: grupos Finitos nunca se $PD(n)$, a menos que trivial, en cuyo caso, $\{1\}$ actúa libremente y cocompactly en el singleton. Como para los grupos fundamentales de superficies de Riemann, cada grupo es libre (y no trivial), en cuyo caso no es $PD(n)$ grupo $n$ o actúa correctamente de forma discontinua libremente y cocompactly en $R^2$, que es contráctiles, por supuesto.