Demostrar que$x^2+1$ no puede ser un cuadrado perfecto para cualquier entero positivo x?

Question

Empecé este problema al tratar de la prueba por contradicción.

Me señaló en primer lugar que el problema señalado que $x$ tenía que ser un entero positivo, y por lo tanto $x=0$ podría no ser una solución. Yo presume entonces que $x^2+1=n^2$ para algunos entero $n$ otros de $1$. Desde aquí he intentado varios métodos, pero en vano:

• Factoring:

$n^2-x^2=1\implies(n+x)(n-x)=1$. Sería bueno si pudiera decir $(n+x)=(n-x)=1$$(n+x)=(n-x)=-1$. Sin embargo, el problema aquí es que $(n+x)$ $(n-x)$ podría tomar cualquier valor. Por ejemplo, $(n+x)=2$ $(n-x)=\frac{1}{2}$ o$(n+x)=3$$(n-x)=\frac{1}{3}$. Por lo tanto, yo descartó factoring.

• Para cualquier número $n$, $n\equiv 0 \pmod4$ o $n\equiv 1 \pmod 4$.

El problema con esto es que yo tendría que probar que la declaración anterior, así que me lo descartó.

¿Alguien tiene algún consejo sobre cómo continuar? Siento que esta debe ser una fácil prueba, pero ninguna de las soluciones vienen a mí, sin tener que demostrar algo más.

Answer 1

Para cualquier$n$, el cuadrado es$n^2$.

El siguiente entero es$n+1$, y su cuadrado es$n^2 + 2n + 1$.

Desde (asumiendo$x>0$)$$x^2 < x^2+1 < x^2 + 2x + 1$ $

también es cierto que$$\sqrt{x^2} = x < \sqrt{x^2+1} < x+1 = \sqrt{x^2 + 2x + 1}$$ but there are no integers between $ x$ and $ x +1 $.

Answer 2

Tu factorización es abosolutamente correcto. Sin embargo, dado que$x,n$ son enteros, esto nos da$x-n$ es un número natural. Por lo tanto$x-n = \pm 1$.

Una prueba alternativa utilizaría que un cuadrado no puede existir entre dos squires consecutivos y$$x^2 < n^2 < x^2+2x+1$ $

Answer 3

Sólo por diversión (y también debido a que este enfoque puede aplicarse a otros problemas similares), propongo una solución con enteros de Gauss. Así que considere la extensión de P(i)/Q y su norma mapa N. La ecuación de diophantine $x^2$ +1 = $n^2$ también puede ser escrito N(x + i) = N(n), o, equivalentemente, x + i = nz, donde z es un elemento de P(i) con la norma 1. Según Hilbert, thm. 90, tal que z es un cociente (un + ib)/(un - ib), donde a priori un y b pertenecen a Q. Pero la forma de la fracción obviamente nos permite tomar para un y b dos coprime enteros. La resolución de las partes real e imaginaria, obtenemos las dos ecuaciones: x = n ($a^2$ - $b^2$)/($a^2$ + $b^2$) y 1 = 2 n ab/($a^2$ + $b^2$), que dar en vez de 2 x = ($a^2$ - $b^2$)/ab. Pero el lado derecho de la fracción es irreducible: si un primo p divide el denominador, p se por ejemplo, dividir una pero no b, por lo tanto p no divide el numerador. Esto se contradice con la integralidad de la LHS. Tenga en cuenta que nosotros no necesitamos supongamos que x es positivo.

Answer 4

Podría intentar probar por contradicción suponiendo que$x^2+1$ es un cuadrado perfecto para algunos$x∈\mathbb{Z}$ y mostrar cómo esto no puede ser posible