Supongamos $\Omega$ es una región acotada en el plano de la $\mathbb{R}^2$ con suave límite de $\partial\Omega$. Supongamos $u$ es una función suave en $\Omega$. Quiero calcular $$\frac{\partial}{\partial\nu}|\nabla u|^2\mbox{ on }\partial\Omega,$$ la normal derivado con respecto a la parte exterior de la unidad normal de $\nu$. Aquí está mi cálculo: $$\etiqueta{1}\frac{\partial}{\partial\nu}|\nabla u|^2=\frac{\partial}{\partial\nu} \left\langle\nabla u,\nabla u\right\rangle=2\left\langle\nabla \frac{\partial u}{\partial\nu},\nabla u\right\rangle.$$ Pero estoy seguro de que esto es incorrecto, porque puedo obtener una conclusión absurda, asumiendo que $u$ es el primer Steklov eigenfunction. Así que me gustaría preguntar donde mi error es en $(1)$. Mi conjetura es que voy a tener que agregar un término relacionado a la curvatura geodésica en $(1)$.
Respuesta
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El problema es que se ha conmutado la normal de derivados con el gradiente. La anotación que hace que este parece justo, ya que pueden viajar en derivadas parciales; pero el normal derivado no es una derivada parcial! Sólo cuidadosamente calcular en coordenadas Cartesianas:
$$\frac12 \nu^i \partial_i (u_j u_j) = u_j \nu^i u_{ji}=u_j \partial_j(\nu^i u_i) - u_j u_i \partial_j \nu^i;$$
de manera que el término que falta es $-\langle D_{\nabla u}\nu,\nabla u\rangle$. Esto es de hecho una curvatura plazo - es $A(\nabla u, \nabla u)$ $A$ la segunda forma fundamental de la $\partial \Omega$. En el plano de la curva en este caso se debe reducir a algo como $$k \left(\frac{\partial u}{\partial \ell}\right)^2$$ for $\ell$ a unit-speed coordinate on $\partial \Omega$.
