Subconjuntos densos localmente no numerables de R

Question

Hoy después de comer tenía hambre de problemas de matemáticas así que me puse a rogar por algunos en el departamento y finalmente alguien me lanzó esto: Puede $\mathbb{R}$ ¿se puede dividir en dos subconjuntos densos no contables? Fue un buen comienzo, después de unos minutos lo conseguí: Tomar los irracionales menores que $0$ y los racionales mayores que $0$ , este es un subconjunto, el complemento por supuesto que funciona. Entonces me vino a la mente la siguiente pregunta: ¿Puede $\mathbb{R}$ se puede dividir en dos subconjuntos densos localmente no contables?

Todavía tengo hambre

Answer 1

La respuesta es sí. Creo que una forma de hacerlo es construir iterativamente conjuntos de Cantor en cada intervalo $[n,n+1]$ , $n\in\mathbb{Z}$ es decir, para un intervalo dado, construir un conjunto de Cantor, luego construir un conjunto de Cantor en cada uno de los (contablemente muchos) segmentos disjuntos cuya unión es el complemento de ese conjunto de Cantor intersecado con el intervalo original, y repetir este proceso. Al final se consideraría la unión de esos conjuntos de Cantor, y el complemento de esa unión.

Answer 2

$\mathbb{Q}$ tiene $2^{\aleph_0}$ muchos cosets en el grupo aditivo $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, $\mathbb{R}$ puede dividirse en 2 conjuntos, cada uno de los cuales es la unión de $2^{\aleph_0}$ muchos cosets de $\mathbb{Q}$ . Cada coset es denso, por lo que cada uno de estos conjuntos es localmente incontable.

Answer 3

Actualizado a la luz del comentario: ¿Qué tal si expresamos todos los números en base 3? Para el conjunto $A$ tomar todos los números que eventualmente tienen $1$ en todos los lugares pares detrás de la base de 3 puntos-cosas como $0.x1x1x1x1x1\ldots$ (donde el $x$ puede ser cualquier dígito y no tiene por qué ser el mismo), $0.xxx1x1x1x1x1x1\ldots$ , $0.xxxxx1x1x1x1x1\ldots$ y para $B$ tomar todo lo demás.