La partición de la unidad es un teorema importante en geometría. ¿Tiene este teorema alguna interpretación para un anillo conmutativo con respecto a la topología de Zariski?
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ghostwhistler
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32
No conozco la historia para los anillos conmutativos generales, pero para los afines $k$ -(o variedades algebraicas afines, equivalentemente) pienso en el Nullstellensatz como el análogo de la partición de la unidad.
La versión relevante es, si $f_1, \cdots, f_n$ son funciones regulares sobre la variedad algebraica afín $X$ sin ceros comunes, entonces existe $g_1, \cdots, g_n$ tal que $\sum f_i g_i = 1$ . Es decir $(f_1, \cdots, f_n)$ es el ideal unital.
Para ver por qué esto es análogo a la partición de la unidad, suponga que mira $U_i = X - \mathcal{Z}(f_i)$ . Por hipótesis, estas cubiertas $X$ . $h_i = f_i g_i$ son entonces "las funciones de choque" en $U_i$ que suman la unidad.
Al igual que la partición de la unidad, puede utilizar Nullstellensatz para parchear las cosas locales con las globales. De hecho, que la gavilla de estructura de una variedad algebraica afín satisfaga realmente el axioma de encolado es un corolario de la Nullstellensatz.
Rüdiger
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21
Hasek
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Sí, lo ha hecho. Intenta resolver los siguientes problemas y verás cómo aparece de forma natural.
- Demuestre que si $U_{f_i}$ portada $Spec(A)$ y $g, h \in A$ son tales que $g = h \in A_{f_i}$ para todos $f_i$ entonces $g=h$ . Así, $g \in A$ se determina por sus restricciones a una cubierta abierta.
- Ahora dejemos que $g_i \in A_{f_i}$ sea tal que $g_i = g_j \in A_{f_i, f_j}$ para todos $i, j$ . Demuestre que existe $g \in A$ tal que $g = g_i \in A_{f_i}$ . Este sitio web $g$ es único.
