Etimología de transposición de morfismos en una adición

Question

Deje $F: \mathbf{C} \to \mathbf{D}$ ser de izquierda adjunto a $G : \mathbf{D} \to \mathbf{C}$, testificada por la familia de bijections entre hom-conjuntos de naturales en objetos $X, Y$: $$\operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(X,GY) \overset{\psi_{X,Y}}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_{\mathbf{D}}(FX,Y).$$

Me he dado cuenta de que para algunos autores, la imagen de $\psi_{X,Y}(f)$ de un mapa de $X \overset{f}{\to} GY$ es denominado la transposición de $f$. ¿Tiene esto algo que ver con un categórico realización de transposiciones en álgebra lineal? Hay un canónica ejemplo muy motivador para adjoint functors que implican transpone de la linealidad de los operadores, que implica (decir) adjunto representaciones de la Mentira grupos?

Answer 1

La etimología de "adición" es la caracterización del adjoint o transpuesta, de un mapa lineal entre espacios con producto interno por el fórmula $\langle Av,w\rangle=\langle v,A^T w\rangle$. Supongo que el uso de "transponer" para indicar pasando un morfismos por adjunción sale de esta historia. Pero esto parece ser sólo psicológica, no un técnico, explicación. En particular, es difícil realizar transpone en álgebra lineal como montajes en teoría de la categoría.

Answer 2

Deje $V$ $W$ ser finito libre $R$-módulos. Desde la transpuesta invierte la multiplicación de matrices, la evaluación de la transposición $f^T$ de un mapa de $f: V \to W$ a un elemento $(w_1, \dots, w_n)$ $W$ equivale a la precomposición de la funcional $[w_1, \dots, w_n]$$f$. Por lo $f^T$ es sólo la imagen de $f$ bajo$\operatorname{Hom}_{R\text{-}\mathbf{Mod}}(-,R),$, lo que vamos a llamar a $(-)^{T}$.

Con un poco de pensamiento y un no-tan-pequeña cantidad de la verificación y el diagrama de persecución, uno puede ver que $(-)^{T}$ es correcto adjunto a su opuesto, el functor $\big((-)^{T} \big)^{\operatorname{op}}$ functors $$\left((-)^{T}\right)^{\operatorname{op}} : R\text{-}\mathbf{Mod} \leftrightarrows R\text{-}\mathbf{Mod}^{\operatorname{op}} : (-)^{T}.$$

En particular, esto restringe en finitos libre $R$-módulos para un isomorfismo de las categorías.