Describir la tangente y normal paquete a un colector de

Question

Considerar el conjunto

$X:={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | x^2+3y^2=1+z^2}$

Tengo que demostrar que $X$ es una subvariedad de $\mathbb{R}^3$ (y esto es trivial); entonces, usando el estándar coordenadas $T\mathbb{R}^3$ $x,y,z,\partial_x,\partial_y,\partial_z$ tiene que encontrar las ecuaciones que describen $TX\subseteq T\mathbb{R}^3$ y $NX\subseteq T\mathbb{R}^3$.

¿Cualquier sugerencia? Gracias...

Answer 1

La tangente bundle $TX$ es el conjunto de $6$-tuplas $(x,y,z;\partial_ x,\partial_ y,\partial_ z)\in T\mathbb R^3=\mathbb R^3\times \mathbb R^3$ la satisfacción de las ecuaciones de $x^2+3y^2-z^2-1=0$$2x\partial_ x+6y\partial_y-2z\partial_z=0$.

La normal bundle $NX$ es el conjunto de $6$-tuplas $(x,y,z;2xr,6yr,-2zr)\in T\mathbb R^3=\mathbb R^3\times \mathbb R^3$$x^2+3y^2-z^2-1=0$$r\in \mathbb R$ .

Editar
En Frankenstein de la solicitud, voy a añadir un par de palabras de explicación.
La ecuación de $x^2+3y^2-z^2-1=0$ dice que estamos estudiando un punto de $P\in X$: esto se refiere a las tres primeras coordenadas de nuestra $6$-tupla $(x,y,z;\partial_ x,\partial_ y,\partial_ z)\in T\mathbb R^3=\mathbb R^3\times \mathbb R^3$.
En $P$ el gradiente de $f(x,y,z)=x^2+3y^2-z^2-1$ es el vector de la $\nabla f(P)=(2x,6y,-2z)$.
Un vector $v=(\partial_ x,\partial_ y,\partial_ z)\in T_P\mathbb R^3$ es tangente a $X$ si $v$ es ortogonal a $\nabla f(P)$, lo que se traduce en $\nabla f(P)\cdot (\partial_ x,\partial_ y,\partial_ z)=2x\partial_ x+6y\partial_y-2z\partial_z=0$.
Un vector $v=(\partial_ x,\partial_ y,\partial_ z)\in T_P\mathbb R^3$ es normal a $X$ si $v$ es proporcional a $\nabla f(P)$, lo que se traduce en $(\partial_ x,\partial_ y,\partial_ z)=r \nabla f(P)=r(2x, 6y,-2z)=(2xr,6yr,-2zr)$.

Un comentario
Observe que la descripción de $TX$ es puramente por las ecuaciones, mientras que el de $NX$ es una mezcla de una ecuación y una parametrización.
Este es un álgebra lineal fenómeno:
$\bullet$ A un avión en $\mathbb R^3$ es mejor descrito por la ecuación de $l(x)=0$ donde $l$ es una forma lineal, único hasta un valor distinto de cero constante.
$\bullet \bullet$ , Sin embargo, una línea debe ser descrito por dos lineal formas y no hay absolutamente ninguna canónica de la elección de estos.
Por lo que es mejor para describir una línea por la elección de un vector cero no $v$, que será único a una constante, y tomar múltiplos $rv$ de dicho vector.
En otras palabras, una línea es mejor descrito de forma paramétrica de equationally.

Answer 2

El vector gradiente $\nabla f = f_x\,\partial_x + f_y\,\partial_y + f_z \, \partial_z$ está en ángulo recto con el cero a nivel de sistema $f=0$. En su caso $f(x,y,z) = x^2+3y^2-z^2-1$ y así:

$$\nabla f = 2x \, \partial_x + 6y \, \partial_y - 2z \, \partial_z \, .$$

Un vector que pertenece a $X$ si se basa en un punto de $X$ y es tangente a $X$ en ese punto. De manera equivalente, un vector debe estar basada en un punto de $X$ y ser perpendicular a $\nabla f$. Un vector debe estar basada en un punto de $(x,y,z)$ que $x^2+3y^2-z^2-1=0$ y el ser de la forma $a \, \partial_x + b \, \partial_y + c \, \partial_z$ que $2xa + 6yb -2zc = 0$. Esta última condición implica que $$a \, \partial_x + b \, \partial_y + c \, \partial_z \perp 2x \, \partial_x + 6y \, \partial_y - 2z \, \partial_z \, .$$

Poniendo todo esto junto, se sigue que:

$$TX = \{ (x,y,z;a,b,c) : x^2+3y^2-z^2 = 1 \ \text{ and } \ xa + 3yb - zc = 0 \} \, .$$

Para el normal paquete, usted quiere vectores basados en $X$ y en paralelo a $\nabla f$ en ese punto. Por lo tanto:

$$NX = \left\{ (x,y,z;2kx,6ky,-2kz) : x^2+3y^2-z^2 = 1 \ \text{ and } \ k \in \mathbb{R} \right\} \, .$$