¿Qué es

Question

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sin{\frac 1x}+\cos{\frac 1x}\right)^x$ $ Se trata de$(\to1)^{(\to\infty)}$% Situación. Entonces, ¿podemos encontrar su límite usando esta fórmula:$\lim_{x\to\infty}(1+\frac 1x)^x=e$? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

Poner $y=\dfrac{1}{x} \to \displaystyle \lim_{x\to \infty}\ln(f(x))=\displaystyle \lim_{y\to 0}\dfrac{\ln\left(\sin y+\cos y\right)}{y}=\displaystyle \lim_{y\to 0} \dfrac{\cos y - \sin y}{\sin y+ \cos y}=1\to \displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = e$.

Answer 2

Set $1/x=h$ llegar

$$\lim{x\to\infty}\left(\sin\frac1x+\cos\frac1x\right)^x=\lim{h\to 0^+}\left(\sin h+\cos h\right)^{\frac1h}$$

Ahora $(\sin h+\cos h)^2=1+2\sin h\cdot\cos h=1+\sin2h$

$$\lim{h\to 0^+}\left(\sin h+\cos h\right)^{\frac1h}=\lim{h\to 0^+}\left[\left(\sin h+\cos h\right)^2\right]^{\frac1{2h}}$$

$$=\left[\lim{h\to 0^+}\left(1+\sin2h\right)^{\dfrac1{\sin2h}}\right]^{\lim{h\to 0^+}\dfrac{\sin2h}{2h}}$$

Ahora para el límite interno, use $\lim{ y\to0}(1+y)^{\dfrac1y}=\lim{m\to\infty}\left(1+\dfrac1m\right)^m=e$

¿Por qué el límite en el exponente?

Answer 3

$$\sin \frac1x + \cos \frac1x = 1 + \frac1x - \frac1{2x^2} + \cdots$$ therefore $$ \left( \sin \frac1x + \cos \frac1x \right)^x = \left( 1 + \frac1x+\cdots\right)^x \to e \text{ as } x \to \infty.$$

Answer 4

$$ \lim{x\to\infty}(\sin{\frac 1x}+\cos{\frac 1x}) ^ x $$ tomar $x=\dfrac{1}{t}$, $$ \lim{t\to 0} (\sin t + \cos t) ^ \frac {1} {t} $$ $$ \large \lim{t\to 0} e ^ \frac {\ln (\sin t + \cos t)} {t} $$ $$ \large e ^ {\lim {t\to 0} \frac {\ln (\sin t + \cos t)} {t}} $$ entonces usar L'Hôpital regla.

Answer 5

Sugerencia:

$$ \lim {x\to\infty} \left (\sin {\frac 1 x} + \cos {\frac 1 x} \right) ^ x = \lim{x\to\infty}\exp\left (x\log\left (\sin {\frac 1 x} + \cos {\frac 1 x} \right) \right) = $$ $$ = \exp\lim{x\to\infty}\left (x\log\left (\sin {\frac 1 x} + \cos {\frac 1 x} \right) \right ) = $$ $$ = \exp\lim{x\to\infty} \dfrac{\log\left (\sin {\frac 1 x} + \cos {\frac 1 x} \right)} {\frac 1 x} = $$

Ahora uso la regla de l'Hopital.