¿El sistema de números algébricos es contable: es esta prueba correcta y bien escrito?

Question

Problema: demostrar que el conjunto de todos los números algebraicos es contable.

Mi prueba:

Deje $f: \bigcup^{\infty}_{n=1} \mathbb{Z}^n \rightarrow \mathcal P(\mathbb{C})$ ser una función de la asociación de un ordenado $n$-tupla $(a_1,...,a_n)$ de los números enteros el conjunto de soluciones complejas de la ecuación de $a_1+a_2z^2+...+a_nz^{n-1}$.

Los siguientes conjuntos son numerables:

1. $\mathbb{Z}$
2. $\mathbb{Z}^n$, debido a que el producto cartesiano de conjuntos contables contables es demasiado
3. $E=\{\mathbb{Z}^n, n\in\mathbb{N}\}$
4. $\bigcup^{\infty}_{n=1}\mathbb{Z}^n$ (que es la unión de todos los conjuntos de $E$), ya que la unión de countably muchos contable de conjuntos contables.

Por lo tanto, existe una secuencia $x_n$ la asociación de un número natural $n$ $m$- tupla de números enteros. Definir $f(x_n)=A_n$; $A_n$ es finito, y por lo tanto contables, ya que contiene todos los sólo las soluciones de un número finito de grados de la ecuación, que son finitos. Por lo tanto, $\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n$ es contable. Pero también contiene todos los números algebraicos: vamos a $z$ ser uno de ellos, entonces existe una $m$-tupla de enteros $(a_1,...,a_m)$ tal que $a_1+a_2z+...a_mz^m=0$, y por lo $z\in f(a_1,...,a_m)=E_a$ algunos $a\in \mathbb{N}$.

La prueba parece correcto para mí, pero no estoy del todo convenció: podría usted señalar los errores, si los hubiere? También, me temo que aún no completamente justificados en cada paso de la misma y que puede ser escrita de una manera más clara y precisa de la moda...¿sería aceptado si me fuera a presentar en un examen universidad?

Answer 1

Prueba de ello es sano, siempre usas $\mathbb{Z}^n\setminus{(0,0,\dots,0)}$ o usted incluiría el polinomio cero.

Para terminar más rápidamente, se puede argumentar como sigue.

Que $g\colon \mathbb{N}\to\bigcup{n\in\mathbb{N}}(\mathbb{Z}^n\setminus{(0,0,\dots,0)})$ ser una biyección. Entonces el conjunto de números algébricos es \bigcup{n\in\mathbb{N}}f(g(n)) $$ $$ por lo que una Unión contable de conjuntos finitos.