¿Cuál es una buena notación para un "factorial par"?

Question

Me han sugerido que utilice esta notación: $$ \lfloor n \rfloor_2 = 2 \left\lfloor \frac n 2 \right\rfloor = \text{“even floor of $ n $''} = \text{largest even integer}\le n. $$

También quiero escribir sobre un "factorial par" que, por ejemplo, dadas las entradas $57$ y $6$ o $56$ y $6$ tiene este valor: $$ 56\times54\times52\times50\times48\times46, $$ es decir, es $$ \lfloor 57 \rfloor_2 \cdot (\lfloor 57 \rfloor_2 - 2) \cdot (\lfloor 57 \rfloor_2 - 4) \cdot (\lfloor 57 \rfloor_2 - 6) \cdot (\lfloor 57 \rfloor_2 - 8) \cdot (\lfloor 57 \rfloor_2 - 10)$$ por lo que en general, dado $n$ y $k$ es esto: $$ \prod_{j=0}^{k-1} \lfloor n - 2j \rfloor_2. $$ Podría llamarlo $n\mathbin{\sharp}k$ o algo así. Pero mis preguntas son:

• ¿Existe alguna notación estándar para esto?; y
• ¿Qué notación sería más fácil de seguir para el lector cuando el tema no es ni la notación ni el concepto que denota, sino que la notación y el concepto se utilizan simplemente en el curso de la discusión de un tema para el que son útiles?

Answer 1

Por analogía con las definiciones habituales de los números de permutación parcial en términos de factoriales (normales), se podría expresar de forma compacta esta cantidad como $$ \frac{\lfloor n \rfloor_2!!}{\lfloor n - 2j \rfloor_2!!}, $$ donde $!!$ denota el doble factorial.

Answer 2

Podrías definirla como una función de dos variables $f(n,k)?$

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Podrías evitar introducir una nueva notación si la escribes

$$f(n,k)=\displaystyle\prod_{i=0}^{k-1} \left(2\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor - 2i\right)$$

Otra forma sería

$$f(n,k) = k! \cdot 2^k \cdot \binom{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}{k}$$