satisface a $a \in (0,1]$ $a^{2008} -2a +1 = 0$ y definimos $S$ $S=1+a+a^2+a^3........a^{2007}$. ¿Es la suma de todos los valores posibles de $S$?

Question

Esta es la tarea.

Deje $a \in (0,1]$ satisface la ecuación de $$a^{2008} -2a +1 = 0$$ y definimos $S$ $$S=1+a+a^2+a^3........a^{2007}$ $

La suma de todos los valores posibles de la(s) $S$ es?

Mi Intento

$a=1$ es, obviamente, una solución.Por lo tanto el valor de $S$$2008$.

Para buscar otros valores de $S$, tengo todas las soluciones de $a$ que se extiende entre los $0$$1$. Cuando me gráficamente la función aquí, la otra raíz fue de aproximadamente viene a ser $0.5$. Pero yo creo que este problema tiene que ser resuelto exactamente y no aproximaciones son necesarias. Por lo tanto, estoy atrapado aquí.

Las soluciones deben, preferentemente, no implican una calculadora o cualquier herramienta informática y el uso de colegio de matemáticas de nivel único (ya que este problema se encontró en un nivel de college libro).

Answer 1

$1$ Es una solución $a^{2008}−2a+1 = 0$ por lo tanto se puede dividir $a^{2008}−2a+1$ $a-1$. Si lo haces, obtendrás $a^{2007}+a^{2006}+...+a^2+a-1$. Puesto que es trivial una función monótona y tiene valores de signos opuestos en $0$ y $1$, se debe tener una sola raíz real en el intervalo $(0;1)$. Él es tal número $a$ que $a^{2007}+a^{2006}+...+a^2+a-1 = 0$. Por lo tanto, $a^{2007}+a^{2006}+...+a^2+a+1 = 2$. Así consigue $S = 2$ para la otra raíz.

La respuesta final es $2+2008 = 2010$