Radicales anidados y fracciones continuas

Question

¿Hay alguna interconexión entre estos dos temas?

¿Una especie de clasificación de los posibles tipos de radicales anidados y quizás alguna forma (ojalá biyectiva, en algún sentido) de pasar de un radical anidado a una fracción parcial y viceversa?

Sé que esto es vago, pero no he encontrado nada al respecto.

Answer 1

Sí, lo hay. Considere una fracción continua en la forma:

$$x=\cfrac{a}{b+\cfrac{a}{b+\cfrac{a}{b+\cdots}}}$$

Asume que el límite existe y encuéntralo:

$$x=\cfrac{a}{b+x}$$

$$x^2+bx-a=0$$

$$x=\frac{\sqrt{b^2+4a}-b}{2}$$

Ahora considera el radical anidado:

$$x=\sqrt{c+d\sqrt{c+d\sqrt{c+\cdots}}}$$

Asume que el límite existe y encuéntralo:

$$x=\sqrt{c+dx}$$

$$x^2-dx-c=0$$

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Si ponemos $d=-b$ y $c=a$ obtenemos exactamente el mismo valor del límite. He supuesto que $b>0$ así que en este caso $d<0$ y nos quedamos con el radical:

$$x=\sqrt{a-b\sqrt{a-b\sqrt{a-\cdots}}}=\cfrac{a}{b+\cfrac{a}{b+\cfrac{a}{b+\cdots}}}$$

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Esta es la conexión más sencilla que hemos podido encontrar, pero, por supuesto, puede haber otras innumerables.