Conozco la definición de la derivada de Frechet y su unicidad, si es que existe. Sin embargo, me gustaría saber cómo la derivada es la "mejor" aproximación lineal. ¿Qué significa esto formalmente? La "mejor" en todo el dominio es seguramente errónea, así que debe significar la "mejor" en una pequeña vecindad del punto en el que estamos diferenciando, donde esta vecindad se vuelve arbitrariamente pequeña? ¿Por qué la definición de la derivada formaliza precisamente esto? Gracias de antemano.
Respuestas
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Michael Hardy
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Digamos que la gráfica de $L$ es una línea recta y en un punto $a$ tenemos $L(a)=f(a)$ . Y supongamos que $L$ es la recta tangente a la gráfica de $f$ en $a$ . Sea $L_1$ sea otra función que pase por $(a,f(a))$ cuya gráfica es una línea recta. Entonces hay algún intervalo abierto $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ tal que para cada $x$ en ese intervalo, el valor de $L(x)$ está más cerca del valor de $f(x)$ que el valor de $L_1(x)$ . Ahora se podría tener otra línea $L_2$ a través de aquel punto cuya pendiente es más cercana a la de la línea tangente que a la de $L_1$ , de tal manera que $L_2(x)$ en realidad se acerca más a $f(x)$ que lo que hace $L(x)$ , para algunos $x$ en ese intervalo. Pero ahora hay un intervalo aún más pequeño $(a-\varepsilon_2,a+\varepsilon_2)$ dentro de la cual $L$ late $L_2$ . Para cada línea, excepto la línea tangente, se puede hacer el intervalo lo suficientemente pequeño como para que la línea tangente supere a la otra línea dentro de ese intervalo. En general, no hay un intervalo que funcione por muy cerca que esté la línea rival. Más bien hay que hacer el intervalo lo suficientemente pequeño en cada caso por separado.
Pawel
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La respuesta de Michael es maravillosa. He aquí otra interpretación de la idea de "mejor" aproximación lineal, una que apela únicamente a la intuición. En primer lugar, hablamos simplemente de la noción de "aproximación".
Imagina los puntos $\pi$ y $3.14$ en una recta numérica. Se podría decir que $3.14$ "aproximaciones $\pi$ y en una determinada escala de la línea numérica, nuestro ojo estaría de acuerdo. Es decir, dependiendo de nuestro nivel de aumento, los puntos $\pi$ y $3.14$ parecerán muy cercanos, y quizás casi indistinguibles.
A continuación, supongamos que empezamos a acercarnos a $\pi$ . ¿Qué veremos? Mientras que $\pi$ se mantiene fijo, $3.14$ se desplazará lentamente hasta convertirse en un punto distinguible, y comenzará a alejarse cada vez más de $\pi$ hasta que, con cierto aumento, haya salido de nuestra "pantalla". Ahora no parece que $3.14$ es una buena aproximación a $\pi$ .
No importa cuántos decimales de $\pi$ que incluyamos en nuestra aproximación, siempre podremos acercarnos lo suficiente como para que la aproximación haya salido de nuestra pantalla. Sólo hay un valor que permanecerá en nuestra pantalla sin importar cuánto nos acerquemos, y es $\pi$ sí mismo.
Ahora, para el caso de una línea tangente, imaginemos una curva suave en el plano, y una línea tangente en un punto de esta curva. A medida que nos acercamos a nuestro punto, la recta y la curva parecen no distinguirse, y de hecho, a cada nivel de aumento sucesivo, necesitaríamos un instrumento de medida más preciso para distinguir la recta de la curva. Para cualquier otra línea que pase por el punto, existe un instrumento de medida lo suficientemente preciso como para distinguir la línea de la curva, independientemente de la distancia a la que nos acerquemos.
Aunque las dos nociones de aproximación descritas aquí son diferentes, sirven para ilustrar la utilidad de la aproximación cuando se pide la "mejor" aproximación.
Aquí hay una video que podría ser útil.
