¿Por qué es cierto lo siguiente sobre espacios compactos?

Question

Aquí está el problema

Deje $X$ ser un espacio topológico. Una familia $(V_i)_{i∈I}$ de los subconjuntos de a $X$ se dice que el finito intersección de la propiedad si para todas las finito $J ⊆ I$, la intersección de $\cap _{j∈J} V_j$ es no vacío. Demostrar que $X$ es compacto si y sólo si tiene la siguiente propiedad: para cada familia $(V_i)_{i∈I}$ cerrado de subconjuntos finitos de la intersección de la propiedad, $\cap _{i∈I} V_i$ es no vacío

Ahora, tenga en cuenta que no soy un gran fan de la compacidad. Estoy tratando de acostumbrarme a ella. Dicho esto, se me ocurrió una extraña conclusión.

Mi comprensión de un espacio compacto es que

$X$ es compacto si para cada abierto que cubre, hay un número finito de subcovering.

Y abierto que cubre es sólo una unión de subconjuntos abiertos de $X$.

Así que, bueno, si, supongo que todos los de la familia de "cerrado" subconjuntos de a $X$ tiene la intersección finita de la propiedad... llegué a la conclusión de que $X$ no puede tener un montón de abrir los revestimientos.

Porque, a decir $V_i,V_j$ son distintos subconjuntos cerrados de $X$. Por la propiedad, dijo, la intersección es no vacía. Equivalentemente, que comparten al menos un elemento de a $X$. Equivalentemente, $(X＼V_i) \cup (X＼V_j)$ tendrá un "agujero" que es la parte que $V_i,V_j$ tienen en común. Así que, ya que cada subconjunto abierto de $X$ debe ser en la forma $X＼V_i$, la unión de ellos siempre tienen un "agujero" porque los subconjuntos cerrados está garantizado para tener algún elemento en común, lo que y cuántos debo elegir para que se cruzan.

Y este "agujero" no significa que $X$ no está cubierto como muchos deduzco $X＼V_i$s de todo. Que un agujero no puede ser cubierto por la apertura de los subconjuntos. Por lo tanto, incluso antes de considerar finito subcoverings, $X$ no tiene abiertos del cubrimiento.

Bien, claramente mi conclusión de que "debería" estar equivocado. Problema, es decir, dónde y por qué. Hice un dibujo con sólo $2$ cerrado subconjuntos de a$X$$X$, pero, de hecho, tengo un agujero en la imagen.

Alguien puede decirme lo que está mal con mi razonamiento?

Answer 1

$X$ es compacto yo.e para cada abierto que cubre, $(U_i)_{i\in I}$, existe un subconjunto finito $J\subset I$ tal que $(U_j)_{j\in J}$ cubierta $X$. Set $C_i$ es el complementario de a $U_i$ obtener:

$X$ es compacto si y sólo si se le da una familia de subconjuntos cerrados $(C_i)_{i\in I}$ $X$ tal que $\cap_iC_i=\phi$, existe un subconjunto finito $J\subset I$ tal que $\cap_{j\in J}C_j=\phi$.

Usted sabe que $p$ implica $q$ es equivalente a la negación de la $q$ implica la negación de $p$, por lo que

La contraposición de esta definición es que cada familia $(V_i)_{i\in I}$ si para cada subconjunto finito $J\subset I$ $\cap_{j\in J}C_j\neq \phi$ a continuación,$\cap_{i\in I}C_i\neq \phi$.

Answer 2

Lo que está mal con su razonamiento es que usted está comenzando a partir de la suposición de que cada familia de subconjuntos cerrados de $X$ tiene la intersección finita de la propiedad y el dibujo de algunos correcto, pero (a usted) sorprendentes conclusiones a partir de esa suposición. El problema está pidiendo que asumir que cualquier familia de subconjuntos cerrados que pasa a tener la intersección finita de la propiedad tiene un no-vacío intersección, no se de que cada familia de conjuntos cerrados en realidad no tienen la intersección finita de la propiedad.

[PS: perseverar! la compacidad es realmente genial!]

Answer 3

Supongamos que$X$ no es compacto, luego hay una tapa abierta$\{V_i\}_{i\in I}$ de$X$, de modo que ninguna subcolección finita cubre$X$.

Let$F_i=X\setminus V_i$, luego$F_i$ está cerrado, y cada intersección finita$$ F_{i_1}\cap\dots\cap F_{i_n}=X\setminus (V_{i_1}\cup\cdots\cup V_{i_n})$ $ no está vacía porque$V_{i_1}\cup\dots V_{i_n}$ no cubre$X$. Pero$$ \bigcap_{i\in I}F_i=X\setminus\bigcup_{i\in I}V_i=\emptyset $ $ porque el$V_i$ cubre$X$. Entonces$X$ no tiene la propiedad de intersección finita.

El inverso funciona de la misma manera.

Answer 4

Tienes razón en que para dos de intersección de conjuntos cerrados, sus complementos son no una cubierta de $X$. Tenga en cuenta que podemos revertir esto: si tenemos un número finito de apertura de la tapa de $X$, su complementa la forma de un número finito de familia de conjuntos cerrados con intersección vacía. Hasta ahora tan bueno.

Ahora lo que compacidad significa que por cada apertura de la tapa, podemos encontrar una subfamilia finita que es también una apertura de la tapa. Así que tenemos que demostrar que para cada familia de conjuntos cerrados con vacío intersección (que no es toda familia de conjuntos cerrados, por supuesto!) hay una subfamilia finita que también tiene una intersección vacía. De esta manera se sigue por el mismo complementa el razonamiento.

Así que si $X$ es compacto, también sabemos que el último hecho de familias de conjuntos cerrados: si le sucede que tiene un vacío de intersección, entonces esto significa que algunos finito vacío intersección de un subconjunto. Así que si suponemos que el último no ocurre nunca (que llamamos la intersección finita de la propiedad), el primero también que nunca sucede. Esta es la idea básica.