Un simple ejemplo: Si se le da la categoría de espacios de Hilbert con el delimitada lineal de las asignaciones de morfismos conjuntos, entonces dualization es un contravariante endofunctor.
Así podemos hablar de la "cualitativa" de las propiedades, o en otras palabras, las cosas que uno podría etiquetar como "suave análisis".
Sin embargo, en contraste a esto, "duro" el análisis no sólo se pide el doble de morfismos, pero también desea comparar las normas de la morfismos y el doble de morfismos. No tengo ni idea de si la categoría de conceptos teóricos son lo suficientemente potente como para hablar de tales relaciones razonablemente.
De manera más general, mientras que no esperaba que las estimaciones pueden ser explícitamente en estos términos algebraicos, me gustaría expresar que muchas construcciones algebraicas son métricamente se comporten bien.
Supongamos que me ha dado algunos de los objetos y morfismos conjuntos en el espacio de Hilbert de la categoría, y construir nuevos objetos y morfismos establece a partir de estos, por ejemplo, directa sumas, tensor de productos, la aplicación de ciertos conocidos functors. Los morfismos que se construyen son con la norma $1$ - por ejemplo, las inclusiones y las proyecciones para la suma directa - o que se construyen a través de un functor, como dualization, de tal manera que sus normas pueden ser fácilmente estimado en términos de las normas de sus 'preimages'.
Lo que hace esto me dice sobre el alcance de la categoría de teoría, y se puede describir la métrica comportamiento de los categorial construcciones en categorial términos?
