Encontrar una forma general de una secuencia y su suma

Question

Tengo un problema para encontrar una forma general de la secuencia\begin{align} - \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2\left( {2n - 1} \right)}},\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}}{{2 \cdot 4 \cdot \left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 3} \right)}}, - \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 3} \right)\left( {2n - 5} \right)}}, \cdots :=a_n(k),\qquad n\ge 2 \end {Alinee el}

y luego para encontrar la suma de $\sum |a_n(k)|^2$, $1\le k\le n$.

He probado lo siguiente:

$a_n(k)=\frac{(-1)^kP(n,2k)}{(2k)!!A_n(k)}$, donde $P(n,2k)=\frac{n!}{(n-2k)!}$ y $\,\,A_n(k):=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots (2n-2k+1),\qquad k\ge1$

Esto es cierto. En caso afirmativo, podemos escribimos $A_n(k)$ en una forma cerrada?! Después de todo de lo que es la suma de $|a_n(k)|^2$, $1\le k\le n$.

Answer 1

Aquí está una representación más compacta como la fórmula de la suma, la mayoría de ella se ha dicho en la sección de comentarios.

Desde \begin{align*} a_n(k)=\frac{(-1)^kn(n-1)\cdots (n-2k+1)}{2\cdot4\cdots (2k)\cdot(2n-1)(2n-3)\cdots(2n-2k+1)}\qquad\qquad 1\leq k\leq n \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} a_n(k)&=(-1)^k\frac{n!}{(n-2k)!}\cdot\frac{1}{(2k)!!}\cdot\frac{(2n-2k-1)!!}{(2n-1)!!}\tag{1}\\ &=(-1)^k\frac{n!}{(n-2k)!}\cdot\frac{1}{(2k)!!}\cdot\frac{(2n-2k)!}{(2n-2k)!!}\cdot\frac{(2n)!!}{(2n)!}\tag{2}\\ &=(-1)^k\frac{n!}{(n-2k)!}\cdot\frac{1}{2^kk!}\cdot\frac{(2n-2k)!}{2^{n-k}(n-k)!}\cdot\frac{2^nn!}{(2n)!}\tag{3}\\ &=(-1)^k\frac{n!n!}{(2n)!}\cdot\frac{1}{k!(n-k)!}\cdot\frac{(2n-2k)!}{(n-2k)!}\\ &=\frac{(-1)^k\binom{n}{k}\binom{2n-2k}{n}}{\binom{2n}{n}} \end{align*}

Comentario:

• En (1) se utiliza la doble factoriales $(2n)!!=(2n)(2n-2)\cdots4\cdot 2$

• En (2) se utiliza la $(2n)!=(2n)!!(2n-1)!!$

• En (3) se utiliza la $(2n)!!=2^nn!$

No creo que la serie \begin{align*} \sum_{k=1}^n\left|a_n(k)\right|^2=\binom{2n}{n}^{-2}\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{2n-2k}{n}^2\qquad\qquad n\geq 1 \end{align*} tiene un bonito cerrado fórmula. Los primeros términos son \begin{align*} 0,4,144,3636,82000,1764400,37164736,\ldots \end{align*} pero ellos no son conocidos para OEIS.

También he probado algunas técnicas estándar y se comprueba por ejemplo en la sección 2.9 Riordan Matriz de Pruebas de Identidades en Gould Libro que contiene binomio identidades del tipo que necesitamos, pero sin éxito.

Wolfram Alpha ofrece los siguientes representación a través de la serie hipergeométrica \begin{align*} \sum_{k=1}^n\left|a_n(k)\right|^2 &={}_{4}F_{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{n}{2},\frac{1}{2}-\frac{n}{2},-\frac{n}{2},-\frac{n}{2};1,\frac{1}{2}-n,\frac{1}{2}-n;1\right)-1 \end{align*}