$A$ es un $N \times N$ matriz con elementos diagonales $a_{ii}=1-s_{i}$ y de los elementos diagonales $a_{ij}=s_{i}w_{ij}$ para $i≠j$ . Supongamos que $0≤s_{i}<1/2$ y $ \sum_ {j≠i}w_{ij}=1$ para todos $i$ y $0≤w_{ij}≤1$ . Como $1-s_{i}>∑_{j≠i}a_{ij}=s_{i}∑_{j≠i}w_{ij}$ para todos $i$ matriz $A$ es estrictamente dominante en diagonal. Por lo tanto, $ \det (A)>0$ y tiene menores principales positivos, $M_{ii}$ donde $ii$ es la submatriz de la fila de eliminación $i$ y la columna $i$ . (ver Tsatsomeros 2002 ). Existe una matriz inversa $B=A^{-1}$ .
Quiero mostrar que los elementos diagonales $b_{ii}= \frac {M_{ii}}{ \det (A)} > 1$ . Soy capaz de mostrar esto para $N=3$ y $4$ . Por ejemplo, al expandirse a través de la parte superior da $b_{11}>1$ como $M_{11}>-ω_{12}M_{12}+ω_{13}M_{13}-ω_{14}M_{14}$ que se desprende de $M_{11}>‖M_{1j}‖_{j≠1}$ . Aquí los resultados siguen si el menor principal es dominante en el sentido de ser más grande que los menores de la misma fila.
No sé cómo extender esto a $N>4$ y no he encontrado el resultado en mi búsqueda imperfecta de la literatura.
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No estoy totalmente al tanto de la bibliografía, pero incluí un enlace a "On the Cayley Transform of Positivity Classes of Matrices" math.technion.ac.il/iic/ela/ela-articles/articles/ porque se parecía al que querías decir.
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La matriz A es no negativa. El artículo se refiere al resultado para matrices con diagonales no positivas, una matriz M. Sin embargo, A=I-S , donde S tiene en la diagonal $s_{i}0$ y en la diagonal de salida $-sw_{ij}0$ . Por lo tanto, S puede ser una matriz M, pero no veo cómo se sigue el resultado para A.