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Es constante que holomorphic función $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$

$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ Seamos una función holomorfa que $f$ valores en línea $y=ax+b$. Muestran que $f$ es constante.

Creo que debo utilizar ecuaciones de Cauchy-Riemann pero no saben lo que significa que los valores $f$ están en línea $y=ax+b$. ¿Me puede explicar que?

Gracias de antemano.

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Ivo Terek Puntos 27665

Su hipótesis lee: $$f(x+iy) = u(x,y) + i(a u(x,y) + b),$$ that is, the point $f(x+iy) $ as a point in $\Bbb R ^ 2$ belongs to the said line. The Cauchy-Riemann equations read, abbreviating the notation: $$u_x = a u_y, \quad u_y = -au_x.$$ So $ u_x = - a ^ 2u_x \implies (1 + a ^ 2) u_x = 0$ y... ¡Oh, usted puede concluir ahora! (si usted necesita un empujón más, por favor dígame)

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Michael Hardy Puntos 128804

Aquí mi segunda respuesta:

Las funciones holomorphic son conformales excepto donde sus derivados son cero. No puede ser conformal si su imagen es una línea recta.

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Michael Hardy Puntos 128804

Supondré que te refieres $x$ y $y$ son las partes real e imaginarias de $f(z)$ y $a$ y $b$ son reales.

Supongamos que $f'(z_0)\ne 0$. Elegirlo $\varepsilon$ $0$ que cuando $|\Delta z|=\varepsilon$ y $f(z_0+\Delta z)$ diferencia de $f(z_0)+f'(z_0)\,\Delta z$ por menos de $\Delta z/1000000$. Entonces según alrededor del círculo $\Delta z$ ${z:|z-z_0|=\varepsilon}$, entonces $f(z_0)+f'(z_0)\,\Delta z$ circunda el círculo ${w:|w-f(z_0)| = |f'(z_0)|\varepsilon}$. Ese círculo no es en línea recta, y estancias de $f(z)$ $f(z_0)+f'(z_0)\,\Delta z$.

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zhw. Puntos 16255

Esto también se deduce inmediatamente del teorema abierto.

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Cortizol Puntos 2331

Qué tal esto: usted puede girar/traducir su línea tal que su nueva línea coincide con el eje real (o con el eje imaginario, su elegido). Ahora, esa nueva función, decir $g=g(z)$, tiene $\operatorname{Im}(g)=0$, por lo que se pueden utilizar las ecuaciones C-R para demostrar que $g=\operatorname{const}.$, y de que encontrará la que $f$ también es constante (porque $g(z)=(f(z)-b)e^{-i\alpha}$, donde $\alpha = \arctan a$, algo como eso).

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