¿El nuevo subgrupo tiene el doble de tamaño que el anterior?

Question

Mientras repasaba mis apuntes de clase, me encontré con una afirmación que copié de la pizarra y que no acabo de entender. La afirmación es la siguiente:

Sea $H$ sea un subgrupo de un grupo $G$ . Supongamos que $g \in G$ pero $ g \notin H$ y que $g$ tiene orden $2$ en $G$ y además $gHg^{-1} = H$ . Entonces, si $|H| = n$ el subgrupo de $G$ generado por $H$ y $g$ tiene tamaño $2n$ .

Intento hacerlo por mi cuenta demostrando que los únicos cosets de $H$ en $\langle g,H \rangle$ son $H$ y $gH$ y supongo que la condición de que $g$ tiene orden $2$ nos dice que no tenemos ningún coset extra de la forma $g^nH$ pero no veo cómo utilizar la condición de que $g$ conjugados $H$ en sí mismo para demostrar que no hay otros cosets. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

SUGERENCIA: Demuestre que $H\cup gH$ es un subgrupo de $G$ .

Answer 2

Supongamos que $gHg^{-1} = H$ y que $g \not\in H$ tiene orden $2$ . Ahora $\langle g \rangle \leq N_G(H)$ Así que $\langle g \rangle H \leq N_G(H)$ porque $H \trianglelefteq N_G(H)$ . Por lo tanto $\langle g, H \rangle = \langle g \rangle H$ y por la fórmula del producto este subgrupo tiene orden $2|H|$ porque $\langle g \rangle \cap H = \{1\}$ .

En términos más generales, si $gHg^{-1} = H$ entonces $\langle g, H \rangle = \langle g \rangle H$ es un subgrupo de orden $$\frac{|g||H|}{|\langle g \rangle \cap H|}.$$