¿Alguien puede explicarme por favor cómo hice mal esta fórmula de suma?

Question

Estaba tratando de demostrar que $\sum \limits_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pero en cambio obtuve esto $[\frac{n(n+1)}{2}]^2$ lo que según entiendo básicamente demostré otra fórmula de sumación que es $\sum \limits_{k=1}^n k^3$. Obviamente debo haber hecho algo mal. Así que les voy a mostrar cómo obtuve mal la fórmula de sumación.

$s_n = 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 + n^2 $

En orden inverso

$s_n = n^2 + (n-1)^2 + ... + 2^2 + 1^2 $

Decidí sacar raíz cuadrada de la suma parcial, lo que probablemente llevó a la respuesta incorrecta. Pero no sé, soy torpe al escribir en papel.

$\sqrt{s_n} = 1 + 2 + ... + (n-1) + n$

En orden inverso

$\sqrt{s_n} = n + (n-1) + ... + 2 + 1$

Sumando las dos sumas parciales

$\sqrt{s_n} + \sqrt{s_n} = 2\sqrt{s_n}$

$2\sqrt{s_n} = (n+1) + (n+1) + ...$

$2\sqrt{s_n} = n(n+1)$

$\sqrt{s_n} = \frac{n(n+1)}{2}$

$(\sqrt{s_n})^2 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$

Ahora mi pregunta ¿Qué hice mal? ¿Alguien puede mostrarme el camino correcto? Estoy bastante seguro de que esta es una prueba falsa, o un error menor. Gracias.

P.D. No soy un experto en latex y esto no es tarea, solo es práctica.

Answer 1

$\sqrt{a^2+b^2}\ne a+b$ en general a menos que al menos uno de $a,b$ sea $0$

Si $s_n=1^2+2^n+\cdots+(n-1)^2+n^2,$

¿cómo puedes escribir $s_n=1+2+\cdots+(n-1)+n$?

(1)Una forma de demostrar es:

$(r+1)^3-r^3=3r^2+3r+1$

Poner $r=0,1,2,\cdots,n-1,n$ y sumar para obtener

$(n+1)^3=3S_n+3(1+2+3+\cdots+n)+n=3S_n+3\frac{n(n+1)}2+n$

Entonces, $S_n=...$

(2)También podemos usar inducción:

Sea $S(m)= \frac{m(m+1)(2m+1)}6$

$S(1)=\frac{1\cdot\cdot3}6=1$ lo cual es cierto.

Entonces, $S(m+1)=S(m)+m+1$ $=\frac{m(m+1)(2m+1)}6+(m+1)^2=\frac{(m+1)\{(m+1)+1\}\{2(m+1)+1\}}6$

Entonces la proposición es cierta para $n=m+1$ si es cierta para $n=m.$

Answer 2

$S^2_n= 1^2+2^2+3^2+...+n^2$

$Sea, S_n=1+2+3+...+n$

$(S_n)^2=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+\left((1*2+1*3+...+1*n)+(2*1+2*3+...+2*n)+...+(n*1+1*2+n*3+...+n*(n-1))\right)$ $(S_n)^2=S^2_n+\left((1*2+1*3+...+1*n)+(2*1+2*3+...+2*n)+...+(n*1+1*2+n*3+...+n*(n-1))\right)$ $\sqrt[]{(S_n)^2}=\sqrt[]{S^2_n+\left((1*2+1*3+...+1*n)+(2*1+2*3+...+2*n)+(n*1+1*2+n*3+...+n*(n-1))\right)}$

$S_n=\sqrt[]{S^2_n+\left((1*2+1*3+...+1*n)+(2*1+2*3+...+2*n)+(n*1+1*2+n*3+...+n*(n-1))\right)}$