¿Qué consecuencia filosófica tienen los teoremas de incompletitud de Goedel?

Question

Quiero escribir un ensayo filosófico centrado en el teorema de incompletitud de Goedel. Sin embargo, no encuentro ninguna consecuencia filosófica real sobre la que pueda escribir más de media página. He leído los libros de Franzen (Guía de incompletitud de su uso y abuso) y de Peter Smith (Introducción a los teoremas de Goedel). Realmente no puedo encontrar ningún tema de discusión filosófica que sea realmente una consecuencia de los teoremas de incompletitud. He intentado el debate mente vs. máquinas (por ejemplo http://users.ox.ac.uk/~jrlucas/mmg.html ) un poco, pero uno puede encontrar a muchos argumentos en contra de la proposición que los teoremas de incompletitud de Goedel hacen declaraciones en este debate (como en el libro de Franzen).

Así que estaría agradecido si alguien pudiera dirigirme hacia implicaciones filosóficas (o matemáticas) interesantes o hacia otras direcciones sobre las que pudiera escribir.

Answer 1

Creo que le gustaría leer un excelente artículo reciente de Scott Aaronson titulado "Por qué los filósofos deberían preocuparse por la complejidad computacional" . Abarca un amplio abanico de temas de filosofía que han cambiado drásticamente no sólo por la computabilidad sino también por la teoría de la complejidad.

Discute algunos puntos sobre Godel. En particular, se menciona una gran (pero no muy conocida) carta de Godel a Von Neumann en la que Godel anticipa esencialmente toda la idea de P vs. NP y cuáles serían sus ramificaciones en las matemáticas humanas si P resultara ser realmente igual a NP.

Otro trabajo reciente que utiliza los teoremas de Godel de forma muy técnica para abordar un problema filosófico es "La paradoja del examen sorpresa y el segundo teorema de incompletitud" por Kritchman y Raz.

En él, toman el ejemplo clásico de un examen que se hará la semana que viene, pero no podrás saber el día del examen con antelación (también se suele reformular en términos de una ejecución la semana que viene, pero no sabrás el día de la ejecución; así es descrito en Wikipedia ).

Hay una "resolución" muy ingenua a esta paradoja utilizando la inducción hacia atrás. Kritchman y Raz dan un argumento genial que básicamente afirma que todo depende de lo que quieras decir con "saber el día del examen con antelación". Resulta que si quieres decir "ser capaz de demostrar que el examen no será mañana", entonces el teorema de Godel te permite escapar de la inducción hacia atrás y, por lo tanto, la configuración aparentemente paradójica no tiene por qué ser paradójica en absoluto.

Además, un lugar muy importante donde se invoca el teorema de Godel es en el libro de Roger Penrose "La nueva mente del emperador". El argumento principal de Penrose es que no se puede dar a los cerebros una explicación plenamente reduccionista en términos de la física actualmente entendida, porque hay algo en un matemático humano que de alguna manera puede "ver" la consistencia del propio "sistema formal" del matemático, lo que debería ser impedido por el teorema de Godel si nuestros cerebros fueran sólo sistemas formales en el sentido de las máquinas de Turing / tesis de Church-Turing. Y, por tanto, Penrose rechaza la plausibilidad de Inteligencia Artificial fuerte En el caso de la Inteligencia Artificial, el autor afirma que no es posible diseñar o aprovechar los efectos de la gravedad cuántica en el cerebro.

Creo que Robin Hanson escribió una excelente refutación del uso altamente especulativo que hace Penrose del teorema de Godel ( enlace ). He aquí una breve cita de esa refutación:

"Penrose da muchas razones por las que se siente incómodo con la IA basada en ordenadores. Le preocupa "la 'paradoja' del teletransporte" por la que se podrían hacer copias de personas, y piensa "que el argumento de Searle [Chinese-Room] tiene una fuerza considerable, aunque no sea del todo concluyente". También encuentra "muy difícil de creer... que algún tipo de proceso de selección natural sea eficaz para producir [incluso] algoritmos aproximadamente válidos", ya que "la más mínima 'mutación' de un algoritmo... tendería a hacerlo totalmente inútil."

Se trata de objeciones conocidas a las que, en mi opinión, se ha dado una respuesta bastante adecuada. Pero el argumento contra la Inteligencia Artificial que para Penrose es "la más flagrante reductio ad absurdum que podemos esperar, ¡a falta de una prueba matemática real!" resulta ser una variación del muy criticado argumento "Godel" de John Lucas, presentado en 1961.

Un matemático suele emitir juicios sobre qué enunciados matemáticos son verdaderos. Si no es más poderoso que un ordenador, en principio se podría escribir un programa informático (muy complejo) que duplicara exactamente su comportamiento. Pero cualquier programa que infiera enunciados matemáticos no puede inferir más de lo que se puede demostrar dentro de un sistema formal equivalente de axiomas matemáticos y reglas de inferencia, y por un famoso resultado de Godel, hay al menos un enunciado verdadero que tal sistema de axiomas no puede demostrar que es verdadero. "Sin embargo, podemos (en principio) ver que P_k(k) es realmente verdadera". Esto parecería proporcionarle una contradicción, ya que debería ser capaz de ver eso también".

Este argumento no se sostiene si el conjunto de axiomas al que equivale formalmente el matemático humano es demasiado complejo para que éste lo entienda. Así que Penrose afirma que no puede ser porque "¡esto va en contra de lo que son las matemáticas! ... cada paso [en una demostración matemática] puede reducirse a algo simple y obvio ... cuando los comprendemos [las pruebas], su verdad es clara y acordada por todos".

Y a las críticas de los revisores de que los matemáticos se describen mejor como algoritmos aproximados y heurísticos, Penrose responde (en BBS) que esto no explica el hecho de que "la comunidad matemática en su conjunto comete extraordinariamente pocos" errores.

Son afirmaciones sorprendentes, que Penrose apenas se molesta en defender. Sin embargo, los críticos conocedores del trabajo de Godel se han limitado a señalar que un sistema de axiomas puede inferir que si sus axiomas son autoconsistentes, entonces su sentencia de Godel es verdadera. Un sistema de axiomas simplemente no puede determinar su propia autoconsistencia. Pero tampoco los matemáticos humanos pueden saber si los axiomas que favorecen explícitamente (y mucho menos los axiomas a los que son formalmente equivalentes) son autoconsistentes. Los axiomas de la teoría de conjuntos propuestos por Cantor y Frege resultaron ser inconsistentes, y este tipo de cosas volverán a ocurrir sin duda".

Por último, creo que el artículo de Aaronson enlazado más arriba hace un excelente trabajo de síntesis de las razones de la teoría de la complejidad por las que el argumento de la Habitación China fracasa totalmente. Es sólo un interés nerd, pero algo que quizás otros aquí apreciarán.

Answer 2

No creo que sea del todo correcto que los teoremas de incompletitud de Gödel no hayan tenido consecuencias filosóficas, sino que las consecuencias han sido más bien de sustracción que de aportación a la filosofía. No es que haya ninguna (o muchas) cosas interesantes que se piensen ahora que no se habrían pensado sin Gödel. Pero hay cosas que antes se pensaban pero ahora no son debido a los teoremas de Gödel.

En particular, considere la pregunta: ¿Cómo podemos estar seguros de que algo es cierto sólo porque vemos una prueba matemática de ello? Esa era una especie de pregunta sin sentido. (Si hay una prueba, debe ser cierta, porque eso es lo que son las pruebas). para . ¿Te estás fumando algo?) Se convirtió en una cuestión más urgente (y real) durante el siglo XIX, con el creciente énfasis en el rigor del análisis y, en particular, el descubrimiento de que la geometría no euclidiana es consistente.

Alrededor de 1900, una esperanza común entre los principales matemáticos parece haber sido que esta cuestión podría ser puesta a descansar de manera concluyente mediante la búsqueda de una prueba matemática para un teorema que dice que las pruebas matemáticas son siempre confiables. Esta idea se conoce generalmente como El programa de Hilbert . El programa murió cuando el segundo teorema de incompletitud de Gödel demostró que tal prueba es imposible.

Ahora bien, la imposibilidad de que las matemáticas se levanten por sí mismas no es (en mi opinión) una filosófico consecuencia. Pero lo que me parece interesante es que la gente solía pensar que el programa tenía algún sentido.

Cuando hoy leo sobre el programa de Hilbert, mi reacción inmediata es algo así como: ¿Y qué? Incluso si se pudiera encontrar una prueba de que las matemáticas son fiables -imaginemos que no hubiéramos oído hablar de Gödel y no supiéramos que tal prueba no puede existir-, ¿por qué estaríamos dispuestos a creer esa prueba en primer lugar? ¿Porque hay que creer en las pruebas en general? ¡Pero eso es lo que estamos tratando de establecer! Sería un argumento circular, como argumentar que [inserte el título del libro sagrado] debe ser la palabra inerrante de Dios simplemente porque ella misma lo afirma.

Así que yo, hoy, no lo haría creer necesariamente en una autoprueba de que las matemáticas funcionan, aunque resultara que Gödel se había equivocado en alguna parte y se encontrara una autoprueba real. Sin embargo, Hilbert y sus seguidores hasta 1931 evidentemente (si mis fuentes secundarias son creíbles) pensaron que tal prueba tendría algún valor, y podría convencer a alguien de algo significativo. Cuanto más pienso en ese punto de vista, más extraño me parece.

¿Cómo pueden pensar así? No es que Hilbert o los que siguieron su programa fueran en absoluto estúpidos. ¿Y por qué no puedo ¿piensa así? Es, al menos, una hipótesis natural que la razón por la que este tipo de razonamiento nos parece hoy disparatado se deba a los 80 años de influencia acumulada de los resultados de Gödel.

Answer 3

La incompletitud de Godel es la más famosa, pero creo que desde una perspectiva moderna es la noción de incompletitud de Turing la que tiene más consecuencias, filosóficas y matemáticas.

Turing demostró que existe un ordenador universal. Como consecuencia inmediata de esto, existen problemas indecidibles (como el problema de la parada).

La incompletitud de Godel no es ni más ni menos que la afirmación de que la evolución de un ordenador universal puede ser codificada aritméticamente (utilizando $+$ y $\times$ ). Esto es, en definitiva, un punto muy técnico, y mucha gente que habla de la incompletitud de Godel tan a la ligera no tendría ni idea de cómo funciona esta codificación.

Answer 4

Puede probar la paradoja del examen sorpresa, http://en.wikipedia.org/wiki/Unexpected_hanging_paradox

O, relacionado, las ideas de Chaitin, por ejemplo, http://www.cs.umaine.edu/~chaitin/sciamer3.pdf .

El quid de la cuestión es que afecta a la práctica matemática, a cómo elegimos nuestros axiomas, a cuánto debemos trabajar con ellos, a cuántas veces debemos añadir otros nuevos, a cuánta fe podemos tener en ellos. Los detalles son bastante técnicos y, de hecho, creo que son temas que todavía hay que investigar. También afecta un poco a la práctica de la física, por ejemplo, cuando se estudian las ecuaciones de Navier-Stokes, si no se tiene una buena composición se puede preguntar si esto tiene un significado, si es independiente de las matemáticas, si se tienen singularidades debe ser porque el modelo es incorrecto (por ejemplo, se han pasado por alto los efectos cuánticos), si no se debe asumir la buena composición como un axioma. Realmente hay muchas consecuencias detalladas que hay que averiguar.

Otro ejemplo es la pregunta de Scott Aaronson sobre la cuestión P vs. NP, www.scottaaronson.com/papers/pnp.pdf . Escribió un artículo completo, por lo que esto realmente afectó a su vida (y a la de muchos otros investigadores). Qué hacer en la investigación matemática. El teorema de Gödel tuvo realmente un gran impacto. En la medida en que la filosofía se ocupa de nuestro enfoque psicológico de la vida y de la vida, o de nuestra forma de pensar, tuvo un impacto.

Answer 5

El teorema de Godel dice lo que deberíamos esperar de todos modos, es decir, que no se puede simplemente escribir algunas reglas simples y derivar mecánicamente de manera que un mono pueda aprender los misterios más profundos de nuestro Universo.

El teorema de Godel es sólo una limitación de lo que los seres mecánicos no pensantes pueden averiguar sobre las matemáticas, la verdad y el Universo, no representa una limitación al razonamiento.