Encuentre un máximo de la función

Question

Deje$a \in \mathbb{R}^n$ ser tal que$\| a \| <1$. Encuentre un máximo de la función$$\{ x \in \mathbb{R}^n \: : \: \| x \| \le1 \} =\mathbb{B}^n \ni x \mapsto \frac{\| x-a \|^2}{(1-\langle a,x \rangle)^2} \in \mathbb{R}.$ $

Se puede probar (usando la condición necesaria para tener extremos y escribir$x$ en alguna base ortogonal$a,b_1,...,b_{n-1}$) que se logra para el límite$x=a+b$ (con norma$1$) y$b \in \text{span}\{b_1,...,b_{n-1}\}$. El máximo es entonces igual a$\frac{1}{(1-\| a\|^2)^2}$. Dado que los cálculos son bastante largos (y sospecho que hay una solución más simple) me gustaría pedirle ayuda para encontrar uno.

Answer 1

Escriba$x=\lambda a + b$ con$b \bot a$, con$\|x\|^2 = \lambda^2 \|a\|^2 + \|b\|^2 \le 1 $.

${\|x-a\|^2 \over (1-\langle x , a \rangle )^2} = { (1-\lambda)^2 \|a\|^2+ \|b\|^2\over (1-\lambda \|a\|^2)^2} $.

Está claro que si$\|x\|^2 <1$ podemos aumentar$\|b\|$, por lo tanto, en$\max$ tenemos$\lambda^2 \|a\|^2 + \|b\|^2 = 1 $.

Por lo tanto, el problema es elegir$\lambda$ con$|\lambda| \le {1 \over \|a\|}$, para maximizar$c(\lambda)={ (1-\lambda)^2 \|a\|^2+ 1-\lambda^2 \|a\|^2 \over (1-\lambda \|a\|^2)^2} = { 1+ \|a\|^2 -2 \lambda \|a\|^2 \over (1-\lambda \|a\|^2)^2}$.

Como$c'(\lambda) = {2 \|a\|^4 (\lambda-1) \over (1-\lambda \|a\|^2)^3}$, vemos que$c$ se maximiza con$\lambda = 1$ con valor$c(1) = {1 \over 1-\|a\|^2 }$.

Por lo tanto, la solución es$x=a+b$ donde$b \bot a$ y$\|b\|^2 = 1- \|a\|^2$.