Vector propio y valor propio de la matriz exponencial

Question

$X$ es una matriz. Sea $v$ sea un vector propio de $X$ con el correspondiente valor propio $a$ . Demostrar que $v$ es también un vector propio de $e^{X}$ con valor propio $e^{a}$

Si $X$ es diagonalizable, entonces podemos empezar a escribir los términos utilizando la expansión de Taylor de $e^{X}$ pero parece que no puedo llegar a ninguna parte.

Gracias por la ayuda

Editar: Se ha corregido la pregunta para que diga Dejemos que $v$ sea un vector propio de $X$ ' en lugar de ' Dejemos que $v$ sea un vector propio de $e^X$ '.

Answer 1

No es necesario asumir que $X$ es diagonalizable para utilizar la "expansión de Taylor". Por definición, $$ \exp(X) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} X^k $$ Además, si $Xv = av$ entonces $X^2v = X(Xv) = aXv = a^2v$ etc. Por inducción, $X^n v = a^n v$ .

Por lo tanto, $$ \exp(X)v = \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} X^k \right)v = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} X^k v = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} a^k v = \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} a^k \right) v = e^a v. $$

Answer 2

Si dejamos que $ \Phi(t) = e^{t X}$ vemos que $\Phi$ satisface la ecuación (matricial) $\dot{Y} = Y X$ sujeta a la condición inicial $Y(0) = I$ .

Dejemos que $\xi(t) = \Phi(t) v$ , donde $Xv = a v$ entonces vemos que $\dot{\xi}(t) = \Phi(t) X v = a \Phi(t)v= a \xi(t)$ y así que $\xi(t) = e^{a t} v$ . Tomando $t=1$ obtenemos $e^X v = e^a v$ .

Answer 3

Sin restringir la generalidad, podemos suponer que el campo de tierra es algebraicamente cerrado. Existe $P$ tal que $B=PXP^{-1}$ es una matriz sup triangular, y $P(v)$ es un vector propio de $B$ asociado a $a$ , $exp(B)=Pexp(A)P^{-1}$ , $P(v)$ es un vector propio de $exp(B)$ asociado a $e^a$ . Esto implica que $v$ es un vector propio de $exp(X)$ asociado a $e^a$ .