¿Alguien me puede dar un breve bosquejo de una prueba o un espacio que sirve como un contraejemplo al hecho de que cada primer espacio contable se caracteriza por ser compacto y Hausdorff (o, más fuerte que Hausdorff, metrizable)?
Respuestas
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Cada infinito espacio discreto es la primera contables y de Hausdorff (de hecho metrizable), pero no compacto. El espacio de $\omega_1$ de los contables de los números ordinales con el fin de la topología de la primera contables y Hausdorff, pero ni compacto ni metrizable. Los enteros con la cofinite topología son los primeros contables y compacto, pero no Hausdorff. El espacio de $\langle\mathbb{N},\mathscr{T}\rangle$, donde $$\mathscr{T} = \left\{\{0,\dots,n\}:n\in\mathbb{N}\right\}\cup\{\varnothing,\mathbb{N}\},$$ is first countable but neither compact nor Hausdorff (nor even $T_1$).
Metrizability es, ciertamente, no más fuerte que la compacidad además de Hausdorff: la recta real es metrizable, pero no compacto.
evilpenguin
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Brian M Scott respuesta fue exhaustiva, pero permítanme añadir algo, abordar un problema fundamental con la caracterización de su busca (o una similar):
Primera countability, Hausdorffness, y metrizability son todos hereditaria con respecto a los subespacios. I. e., cada subespacio de un primer contables (Hausdorff, metrizable) el espacio es la primera contables (Hausdorff, metrizable). Pero la compacidad es no! Al abrir la unidad de intervalo de $(0,1)$ es un noncompact subespacio del espacio compacto $[0,1]$.
