Muestran que

Question

Que $a,b,\lambda \in \mathbb R,$ $a,b > 0, \lambda ≥1,$ y $ n \in \mathbb N^*.$

Mostrar que $\sqrt{ab} \leq \sqrt[n]{\frac{a^n+b^n+\lambda((a+b)^n-a^n-b^n)}{2+\lambda(2^n-2)}} \leq \frac{a+b}{2}$

¿Qué es el buen método para solucionar tal cosa? No tengo ni idea de momento... Fue dado en un examen oral.

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 ≥0 \implies \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$

Answer 1

En $\lambda=1$ tenemos la igualdad entre el término medio y el lado derecho. Si logra demostrar que el término medio es una función decreciente de $\lambda$, sólo queda para demostrar que

$$ (ab)^{n/2}\leq \frac{(a+b)^n-a^n-b^n}{2^n-2}. $ $ Esto es una desigualdad homogénea, por lo tanto, es suficiente para mostrar que $$ (2^n-2) x^{n/2} \leq (1+x)^n-1-x^n $ $ para cualquier $x\geq 0$. Esto es una simple consecuencia del teorema del binomio y de AM-GM.

Answer 2

el lado derecho de la desigualdad es equivalente a $$\frac{a^n+b^n}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^n$ $ ok, deja probarlo, elevar a la potencia $n$ da: $$a^n+b^n+\lambda(a+b)^n-a^n\lambda-b^n\lambda\le \left(\frac{a+b}{2}\right)^n(2+2^n\lambda-2\lambda)$ $ después de simplificar y reorganizar obtenemos: $$(a^n+b^n)(1-\lambda)\le \left(\frac{a+b}{2}\right)^n2+(a+b)^n+(a+b)^n\lambda-2\lambda\left(\frac{a+b}{2}\right)^n$ $ y lo que conseguimos $ de $$(a^n+b^n)(1-\lambda)\le 2(1-\lambda)\left(\frac{a+b}{2}\right)^n$ $\lambda=1$ es la verdadera desigualdad, $$\lambda>1$ $ $$\frac{a^n+b^n}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^n$ $

Answer 3

Voy a probar el derecho de la desigualdad y dejar a la izquierda.

$\sqrt{ab} \leq \sqrt[n]{\dfrac{a^n+b^n+\lambda((a+b)^n-^n-b^n)}{2+\lambda(2^n-2)}} \leq \dfrac{a+b}{2} $

Suponga que $a \le b$. Dividiendo por $b$, y escribir $c = \lambda$ y $x = a/b$, esto se convierte en $\sqrt{a/b} \leq \sqrt[n]{\dfrac{(a/b)^n+1+c((a/b+1)^n-(a/b)^n-1)}{2+c(2^n-2)}} \leq \dfrac{(a/b)+1}{2} $ o $\sqrt{x} \leq \sqrt[n]{\dfrac{x^n+1+c((x+1)^n-x^n-1)}{2+c(2^n-2)}} \leq \dfrac{x+1}{2} $ donde $0 < x < 1$ y $c > 1$.

Vamos $f(x) =\dfrac{x^n+1+c((x+1)^n-x^n-1)}{2+c(2^n-2)} $.

El derecho de la desigualdad es $f(x) \le \dfrac{(x+1)^n}{2^n} $ o

$\begin{array}\\ x^n+1+c((x+1)^n-x^n-1) &\le (2+c(2^n-2))(x+1)^n/2^n\\ &= c(x+1)^n+(2-2c)(x+1)^n/2^n\\ \text{or}\\ (1-c)x^n+1-c &\le (2-2c)(x+1)^n/2^n\\ \text{or}\\ x^n+1 &\ge 2(x+1)^n/2^n \qquad\text{since } c > 1\\ \text{or}\\ 2^{n-1}(x^n+1) &\ge (x+1)^n\\ \end{array} $

Vamos $g_n(x) = 2^{n-1}(x^n+1)-(x+1)^n $. $g(0)=2^{n-1}-1 > 0$ y $g(1) = 0$.

Este es el mismo como $\dfrac{x^n+1}{2} \ge (\dfrac{x+1}{2})^n $ o $\sqrt[n]{\dfrac{x^n+1}{2}} \ge \dfrac{x+1}{2} $ lo cual es cierto por el poder-decir la desigualdad (https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_mean).

Eso es suficiente por ahora. La izquierda de la desigualdad debe ser de manera similar comprobable.