Combinaciones polinómicas en $F[x]$

Question

Supuesto $f(x), g(x) \in F[x]$ para algún campo $F$ son polinomios de grados $m, n$ respectivamente. Además, supongamos que son relativamente primos. Mediante el algoritmo euclídeo puedo hallar $a'(x), b'(x)$ tal que $$a'(x)f(x) + b'(x)g(x) = 1$$ y, por tanto, para cualquier $p(x)$ Puedo encontrar $a(x), b(x)$ tal que $$a(x)f(x) + b(x)g(x) = p(x)$$ Mi pregunta es qué pasa si se restringe el grado de $p(x)$ sea inferior a $d$ . Entonces puedo encontrar $a(x), b(x)$ de grados $d-m, d-n$ respectivamente que satisfagan la ecuación anterior?

Answer 1

Sea $f(x) = x^2$ y $g(x) = x^2 + 1$ de modo que $-f(x) + g(x) = 1$ . Tenga en cuenta que $m=n=2$ .

Sea $p(x) = x$ por lo que el grado de $p(x)$ es inferior a $d=2$ . Sin embargo no existen coeficientes $a(x),b(x)$ de grado cero (constantes) tales que:

$$a(x)f(x) + b(x)g(x) = p(x)$$

ya que cualquier combinación lineal sería un polinomio en $x^2$ (y $p(x) = x$ no lo es).

Answer 2

En un anillo principal A, como F[x], todo par de elementos f, g tienen m.c.d. y l.c.m. Los franceses llaman "Identité de Bezout" a la propiedad: si d = (f, g) entonces existen a, b en A tales que af + bg = d. Cuando d = 1 tenemos para todo p, apf + bpg = p. Por otro lado miramos la ecuación fX + gY = p y como tenemos una solución ap, bp podemos hacer que X = ap + hg e Y = bp - hf con el parámetro h en F[x] porque (X - ap)f + (Y - bp)g = 0. Lo que hay que ver ahora es la cuestión de los grados a considerar.