Permita que$X$ sea un espacio topológico, su primer grupo de cohomología$H^1(X,\mathbb{Z})$ clasifica$\mathbb{Z}$ - torsors sobre$X$. Creo que son un tipo especial de espacio infinito para cubrir sábanas de$X$. ¿Cómo podemos mostrar$H^1(X,\mathbb{Z})\cong Hom(\pi_1(X),\mathbb{Z})$? ¿Podemos ver también el lado derecho como ciertos espacios de cobertura?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En el caso de $X$ tiene un universal que cubre, esto es fácil de demostrar: Deje $p\colon \hat X \rightarrow X$ ser universal que cubre. Recordemos que el grupo $\pi_1(X)$ actúa en $\hat X$ y $p$ es el cociente mapa para esta acción.
Si $f\colon \pi_1(X)\rightarrow \mathbf Z$ es una de morfismos de grupos, entonces uno puede dejar actuar $\pi_1(X)$ en el trivial torsor $\hat X\times\mathbf Z$ en diagonal manera: $$ \gamma\cdot(x,n)=(\gamma\cdot x, f(\gamma)+n), $$ para $\gamma\in\pi_1(X)$, $x\in\hat X$ y $n\in\mathbf Z$. El cociente $(\hat X\times \mathbf Z)/\pi_1(X)$ $\mathbf Z$- torsor sobre $X$. Esto define un mapa $$ \tau\colon\mathrm{Hom}(\pi_1(X),\mathbf Z)\rightarrow H^1(X,\mathbf Z). $$
Con el fin de construir un mapa en la dirección opuesta, vamos a $Y\rightarrow X$ $\mathbf Z$- torsor. Desde $\hat X$ es simplemente conectado, el pull-back $p^\star Y$ es un trivial $\mathbf Z$-torsor sobre $\hat X$. Además, viene equipado con una acción de $\pi_1(X)$ se encuentra por encima de la acción en la $\hat X$. Elegir un isomorfismo entre el$p^\star Y$$\hat X\times\mathbf Z$. Entonces obtenemos por el transporte de la estructura de una acción de $\pi_1(X)$ $X\times \mathbf Z$ se encuentra por encima de la acción de la $\pi_1(X)$$\hat X$: $$ \gamma\cdot(x,n)=(\gamma\cdot x,\phi(\gamma,x)(n)) $$ para $\gamma\in\pi_1(X)$, $x\in\hat X$ y $n\in\mathbf Z$. Por otra parte, $\phi(\gamma,x)$ es un automorphism de la $\mathbf Z$-torsor $\mathbf Z$ todos los $\gamma$$x$. Desde tales automorfismos son discretos, $\phi(\gamma,x)$ sólo depende de $\gamma$, y es necesariamente de la forma $$ \phi(\gamma,x)(n)=f(\gamma)+n $$ para todos los $n\in\mathbf Z$. Está claro que $f$ es una de morfismos de $\pi_1(X)$ a $\mathbf Z$. Esto define un mapa $$ \mu\colon H^1(X,\mathbf Z)\rightarrow\mathrm{Hom}(\pi_1(X),\mathbf Z). $$
Está claro que $\mu\circ\tau=\mathrm{id}$ y $\tau\circ\mu=\mathrm{id}$. También es claro que la $\tau$ es una de morfismos de grupos.
