Problema sobre la suma de progresiones aritméticas y progresiones geométricas

Question

Pregunta: Una sucesión aritmética tiene una diferencia común de $1$ y una sucesión geométrica tiene una razón común de $3$. Se forma una nueva secuencia sumando los términos correspondientes de estas dos progresiones. Se da que el segundo y cuarto término de la secuencia son $12$ y $86$ respectivamente. Encuentra, en términos de $n$,

1. el término $n^{th}$,
2. la suma de los primeros $n$ términos

de la nueva secuencia.

Respuestas:

1. $n+1+3^n$.
2. $\frac 1 2 n(n+3) + \frac{3}{2} 3^n - \frac{3}{2}$.

Trabajo hasta ahora

Estoy atascado obteniendo valores diferentes para $a$.

Answer 1

El problema parece ser que asumes que el primer término en ambas secuencias es $a$.

Las ecuaciones correctas serían $$u_2=a+1+3b=12$$ $$u_4=a+3+27b=86$$ donde $a$ denota el término inicial de la progresión aritmética y $b$ es el término inicial de la progresión geométrica.

Supongo que puedes seguir a partir de aquí. (Obtuve b=3 y a=2.)

Answer 2

Después de resolver el sistema de ecuaciones de la respuesta de Martin, obtendrá que $a_1=2$ y $b_1=3$, por lo que puede expresar $u_n$ como:

$u_n=a_1+(n-1)d+b_1r^{n-1}$

$u_n=2+(n-1)+3*3^{n-1}$

$u_n=n+1+3^n$

Vamos a denotar la suma de los primeros n_ésimos términos como $S_n$. Podemos escribir lo siguiente:

$S_n= \sum_{k=1}^n (k+1+3^k)=\sum_{k=1}^n (k+1)+\sum_{k=1}^n 3^k$

La primera suma se puede calcular como suma de progresión aritmética y la segunda suma se puede calcular como suma de series geométricas.

Answer 3

(i) la primera secuencia es: $u_n=u_0+n$

la segunda secuencia es $v_n=v_0 \cdot 3^n$

entonces la nueva secuencia es : $w_n=u_0+n+v_0 \cdot 3^n$

dado que $w_2=12$ y $w_4=86$
entonces $u_0+2+v_0\cdot9=12$ y $u_0+4+v_0\cdot81=86$
entonces $u_0=1$ y $v_0=1

entonces $w_n=1+n+3^n

(ii) $\sum\limits_{k=0}^{n-1}w_k = \sum\limits_{k=0}^{n-1}1+\sum\limits_{k=0}^{n-1} k+\sum\limits_{k=0}^{n-1}3^k = n-1 + n\cdot(n-1)/2 + (3^n-1)/2$