$\frac{d^2y}{dt^2}+4y=t\sin(2t)$ de la solución particular de

Question

Encontrar la solución particular de : $\frac{d^2y}{dt^2}+4y=t\sin(2t)$

¡Hola a todos! Mi profesor recientemente revisó este problema y no puedo encontrar donde derivó una ecuación en particular. Espero que alguien pueda ayudarme con esa ecuación. Lo indicaré cuando lo explique a continuación:

Lo tenemos:

$$\frac{d^2y}{dt^2}+4y=t\sin(2t)$$

que se puede reescribir como

$$\frac{d^2y}{dt^2}+4y=te^{2it}$$

Siguiente,

$$ a=1, b=0, c=4, \alpha=2i$$

Establecer $y=e^{2it} v$

Ahora mi profesor dijo esto:

$$ v''+4iv'=t$$

y no tengo ni idea de dónde lo ha obtenido. Voy a mostrar el resto del problema.

Adivina=polinomio y como no hay término v, la mayor potencia es 2.

$$v=a_1t+a_2t^2$$ $$v'=a_1+2a_2t$$ $$v''=2a_2$$

Volviendo a enchufar en $ v''+4iv'=t$ tenemos:

$$ 2a_2+4ia_1+8ia_2t=t$$

Equiparación:

$$ 8ia_2=1 \rightarrow a_2=\frac{-i}{8}$$

$$ 2_a2+4ia_1=0 \rightarrow a_1=\frac{1}{16}$$

Volviendo a enchufar v(t): $$v(t)=\frac{1}{16}t-\frac{i}{8}t^2$$

Ponerlo todo junto:

$$y=e^{2it}[\frac{1}{16}t-\frac{i}{8}t^2]$$ $$y=[\cos(2t)+i\sin(2t)][\frac{1}{16}t-\frac{i}{8}t^2]$$

Observe cómo el problema original dice $\sin(2t)$ Por lo tanto, nuestra respuesta es la parte imaginaria, lo que significa que la solución particular es:

$$\psi(t)=\frac{t}{16}\sin(2t)-\frac{t^2}{8}\cos(2t)$$

Espero que alguien pueda ayudarme a encontrar la parte de arriba. Mi profesor menciona que hay dos formas de resolver este problema y normalmente uso otra forma pero cuando me doy cuenta de que la solución de mi profesor es mucho más corta, quería aprender su forma pero estoy atascado con la parte de arriba.

Answer 1

Si entiendo su pregunta, simplemente derivar $y'$ y $y''$ de $y=e^{2it} v$ y se introduce la ecuación anterior y luego se iguala el coeficiente de $e^{2it} $ en ambos lados. Tenga en cuenta que $v$ es una función de $t$ .

Answer 2

En primer lugar debemos encontrar la solución complementaria $$y''+4y=0$$ $$m^2+4=0$$ $$m=\pm i$$ $$y_c=C1\cos(2t)+C_2\sin(2t)$$

la solución particular es $$y_p=(At+B)\cos(2t)+(Ct+D)\sin(2t)$$ cuando comparamos esta solución con la solución complementaria, encontraremos que hay similitud en las dos soluciones, por lo que la solución particular debe ser $$y_p=(At^2+Bt)\cos(2t)+(Ct^2+Dt)\sin(2t)$$ entonces puedes encontrar los coeficientes $A,B,C,D$