La unión de dos topologías en algún conjunto puede ser o no una topología. ¿Cuándo es una topología?
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Dejemos que $\tau_1$ y $\tau_2$ sean dos topologías sobre un conjunto de puntos $X$ . Es decir, $\tau_1$ y $\tau_2$ son subconjuntos del conjunto de potencias de $X$ , cada uno de los cuales indica qué subconjuntos de $X$ debe llamarse Abrir . Dejemos que $\tau = \tau_1 \cup \tau_2$ . En general $\tau$ no es una topología en $X$ Pero veamos qué condiciones se cumplen y cuáles podrían fallar:
(1) $\emptyset \in \tau$ . Verdadero, ya que $\emptyset \in \tau_1$ (y $\tau_2$ ).
(2) $X \in \tau$ . Verdadero, ya que $X \in \tau_1$ (y $\tau_2$ ).
(3) Las uniones arbitrarias de conjuntos abiertos están en $\tau$ Es decir,
$$\bigcup_{\alpha \in \mathscr{I}} U_{\alpha} \in \tau.$$
No es cierto en general. En el mejor de los casos, puedo dividir los conjuntos en los de $\tau_1$ y los de $\tau_2$ para que tengamos:
$$\bigcup_{\alpha \in \mathscr{I}} U_{\alpha} = \bigcup_{\alpha \in \mathscr{I} \cap \tau_1} U_{\alpha} \cup \bigcup_{\alpha \in \mathscr{I} \cap \tau_2} U_{\alpha} = V \cup W,$$
donde $V \in \tau_1$ y $W \in \tau_2$ porque cada $\tau_i$ es una topología. Pero aquí es donde nos atascamos. No tengo ninguna garantía de que $V \cup W$ está en $\tau_1$ o $\tau_2$ Por lo tanto, no puedo colocar $V \cup W \in \tau$ .
(4) Las intersecciones finitas de conjuntos abiertos están en $\tau$ Es decir,
$$\bigcap_{i=1}^n U_i \in \tau.$$
De nuevo, podría dividir los conjuntos según $\tau_1$ y $\tau_2$ para que
$$\bigcap_{i=1}^n U_i \in \tau = V \cap W,$$
para $V \in \tau_1$ y $W \in \tau_2$ . Pero a menos que $V \cap W \in \tau_1$ o $\tau_2$ No puedo encontrar $V \cap W \in \tau = \tau_1 \cup \tau_2$ .
Esto nos lleva a las condiciones necesarias (y suficientes): $\tau = \tau_1 \cup \tau_2$ es una topología si toda unión por pares $U \cup V$ y la intersección $U \cap V$ de conjuntos abiertos $U \in \tau_1$ y $V \in \tau_2$ se encuentra en $\tau_1$ o $\tau_2$ . Por supuesto, esto no me parece una condición muy útil o fácil de comprobar.
Usuario no registrado
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Años tarde para responder a esto pero:
En realidad hay un problema en Munkres relacionado con esto: demostrar para una familia de topologías $\{\tau_\alpha \}$ en un conjunto $X$ que existe una única topología más pequeña que contiene todas las topologías de la familia.
Si se fija $S = \{ U : U \in \tau_\alpha \text{ for some } \alpha \}$ y considerar la topología generada por $S$ (como sub-base) Creo que esto hace el truco. También proporciona una condición suficiente y necesaria menos extensa para tu pregunta.
