¿Cuándo los subgrupos de Sylow tienen una intersección trivial?

Question

¿Cuándo los subgrupos de Sylow del mismo orden tienen una intersección trivial?

Tengo curiosidad porque recientemente leí una prueba donde se calculó que hay $8$ Los subgrupos de Sylow 7, y por lo tanto $8 \cdot 6=48$ elementos del orden 7. Esto parece asumir que cada uno de los subgrupos de Sylow tiene una intersección trivial.

¿Por qué es este el caso? ¿Es cierto que incluso cuando los grupos de Sylow han ordenado un poder primario, no necesariamente sólo un orden primario?

Answer 1

Dos subgrupos de orden $7$ son iguales o se cruzan trivialmente. De hecho, su intersección es un subgrupo de cada uno de ellos, y tienen exactamente dos subgrupos.

En general, un grupo $G$ puede muy bien tener muchos $p$ -Sylow subgrupos que se cruzan de forma no trivial. Por ejemplo, dejemos que $H$ sea cualquier grupo que no tenga una normal $p$ -Sylow, y considera el grupo $G=\mathbb Z_p\times H$ .