Supongamos que $(b_{n})$ es un fijo, limitado secuencia infinita y \begin{align*} x_{n}&=\inf\{b_{n},b_{n+1},b_{n+2},\cdots\}\\ y_{n}&=\sup\{b_{n},b_{n+1},b_{n+2},\cdots\}\\ x&=\sup\{x_{n}:n\in\mathbb{N}^{+} \}\\ y&=\inf\{y_{n}:n\in\mathbb{N}^{+} \} \end{align*} Probar que existe una larga de $ (b_{n})\ $que converge a $y$.
Mi intento:
Desde $ (y_{n})\ $es monótona decreciente (no creciente), el límite de $(y_{n})$ debe ser el infimum del conjunto $\{y_{n}:n\in\mathbb{N}^{+} \}$. Por lo tanto,
$$\limsup_{n\to \infty}b_{n}=\lim_{n\to \infty}y_{n}=\inf\{y_{n}:n\in\mathbb{N}^{+} \}=y.$$
Si $ y$ es la mayor cota inferior del conjunto $\{y_{n}:n\in\mathbb{N}^{+} \}$, entonces cualquier número mayor que $y$ no puede ser un límite inferior para el conjunto. Si dejamos $ε$ ser cualquier número positivo, entonces $y+ε$ no es un límite inferior para el conjunto de $$\{y_{n}:n\in\mathbb{N}^{+} \}.$$For $N$ sufficiently large ($N$ will depend on our choice of $-$), $ y_{N}\ <y+ε$. We also know that for all $N$, $y_{N}\ge y$. $y_{n}$ is the supremum of the set $$\{b_{n},b_{n+1},b_{n+2},\cdots\}, $$so we can assume $y_{N}$ is the supremum of the set $$\{b_{N},b_{N+1},b_{N+2},\cdots\}.$$ If $n>N$, $b_{n}>y_{N}-ε$ (if there wasn't any terms of the set $\{b_{N},b_{N+1},b_{N+2},\cdots\}$ greater than $y_{N}-ε$ then $y_{N}-ε$ would be an upper bound for the set $$\{b_{N},b_{N+1},b_{N+2},\cdots\}$$ and we know this cannot be the case if $ε>0$ and $y_{N}$ is the least upper bound for the set $\{b_{N},b_{N+1},b_{N+2},\cdots\}$).
Ahora tenemos los siguientes:
$$y-ε\le y_{N}-ε<b_{n}<y_{N}<y+ε.$$
Sugerencia:
Utilizar la instrucción siguiente (asumiendo que ya se ha demostrado) : Si para todas las $\epsilon>0 \ $el conjunto $\{n\in\mathbb{N}^{+}:|x_{n}-x|<\epsilon \} \ $es infinito, $\ (x_{n}) \ $ tiene una larga que converge a $\ x. \ $($\ (x_{n}) \ $es una secuencia infinita de números reales y $\ x\in\mathbb{R} \ $).
Realmente no sé a dónde ir desde aquí o si todo lo anterior es correcto o no. Orientación sería muy apreciada.
