Número finito de elementos que generan el ideal unitario de un anillo conmutativo

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo con $1$ . Dejemos que $f_1,\dots,f_r$ sean elementos de $A$ . Supongamos que $A = (f_1,\dots,f_r)$ . Dejemos que $n > 1$ sea un número entero. ¿Podemos demostrar que $A = (f_1^n,\dots,f_r^n)$ sin utilizar el axioma de elección?

EDITAR Es fácil demostrar $A = (f_1^n,\dots,f_r^n)$ si utilizamos el axioma de elección. Supongamos que $A!=(f_1^n,…,f_r^n)$ . Por el lema de Zorn (que es equivalente al axioma de elección), existe un ideal primo $P$ tal que $(f_1^n,…,f_r^n) \subset P$ . Desde $f_i^n \in P$ , $f_i \in P$ para todos $i$ . Por lo tanto, $A = (f_1, \dots,f_n) \subset P$ . Esto es una contradicción.

Answer 1

Desde $(f_1,\ldots, f_r) = A$ existen elementos $a_i\in A$ tal que $a_1f_1 + \cdots + a_rf_r = 1$ . Entonces obtenemos que $$1 = (a_1f_1 + \cdots + a_rf_r)^{rn}.$$ Expandiendo el lado derecho de forma explícita se ve que está en el ideal $(f_1^n,\ldots, f_r^n)$ . Por lo tanto, $(f_1^n,\ldots, f_r^n) = (1) = A$ .

Answer 2

Alternativamente, claramente $(f_1,\dots,f_r) \subset \sqrt{(f^{n_1}_1,\dots, f^{n_r}_r)}$ . Así, $\sqrt{(f^{n_1}_1,\dots, f^{n_r}_r)} = A$ y así $1 \in (f^{n_1}_1,\dots, f^{n_r}_r)$ .