Hesaplamak

Question

Cómo calcular la integral

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(x)}{x^2+x+1}dx $$

¿Es bastante fácil de encontrar cuando los límites de integración son $[-\infty, \infty],$ pero con el límite inferior es cero?

¿Es computable a todos con algunos conocimientos básicos de análisis complejo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Por una propiedad útil de la transformada de Laplace tenemos

$$ I=\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{1+x+x^2}\,dx = \frac{2}{\sqrt{3}}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}s\right)se^{-s/2}}{1+s^2}\,ds \tag{1}$$ con $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-\alpha s}}{1\pm i s}\,ds = \frac{1}{2}e^{\mp i\alpha}\left(\pi\pm 2i\text{Ci}(\alpha)-2\text{Si}(\alpha)\right)\tag{2}$$ para cualquier $\alpha:\text{Re}(\alpha)>0$. Por lo tanto el original de la integral depende de seno y coseno integrales.
Su evaluación numérica no es tan difícil, sin embargo: es suficiente con aplicar un par de pasos de integración por partes, luego la de Cauchy-Schwarz desigualdad, a la RHS de $(1)$. Esto conduce a $I\approx\frac{\pi}{7}$, por ejemplo.

Answer 2

Como Robert Israel respondió.

Considerar el problema general de $$I=\int \frac {\cos(x)}{(x-a)(x-b)} \,dx$$ and use partial fraction decomposition $% $ $\frac {1}{(x-a)(x-b)}=\frac 1{a-b}\left(\frac 1{x-a} -\frac 1{x-b}\right)$por lo tanto, básicamente nos quedamos con integrales $$J= \int \frac {\cos(x)}{x-c} \,dx=\int \frac {\cos(y+c)}{y} \,dy=\cos (c)\int\frac{ \cos (y)}{y}\,dy-\sin (c)\int\frac{ \sin (y)}{y}\,dy$$that is to say $$J=\cos (c)\, \text{Ci}(y)-\sin (c)\,\text{Si}(y)$$ where appear the sine and cosine integrals. For $y$, the bounds are now $c$ and $\infty$ making $$K=\int_c^\infty \frac {\cos(y+c)}{y} \,dy=\text{Si}(c)\, \sin (c)-\text{Ci}(c) \,\cos (c)-\frac{\pi }{2} \sin (c)$$ Now, it is sure that with $a=-\frac{1-i \sqrt{3}}{2} $ and $b=-\frac{1+i \sqrt{3}}{2}$, vamos llegamos al complejo bastante feo expresiones para el integral publicada.

Su representación decimal es $I\approx 0.451312142585023$ que $RIES$ propone cosas como $\frac{4}{5 \sqrt{\pi }}$ y $\log \left(\frac{1}{3} 2^{2 \phi -1}\right)$; sin embargo, $ISC$ no se encontró nada parecido a este número.

Answer 3

Utilizar fracciones parciales y la función de Ei. Puede ser convertido a funciones Gamma incompletas, pero no creo que la respuesta puede expresarse mediante funciones elementales solamente.