Producto de sumas de clase

Question

Deje$C_i$ ser las clases de conjugación de un grupo finito$G$. Considere las sumas de clase$z_i=\sum_{g\in C_i} g$. Es bien sabido que${z_i}$ forma una base del centro del grupo álgebra$\mathbb{C}G$. ¿Cómo podemos mostrar que$z_iz_j$ es un$\mathbb{N}$ combinaciones lineales del$z_i$

Answer 1

Considere la prueba de que la clase sumas formar una $\Bbb C$-base para el grupo de álgebra $\Bbb C[G]$. Decir que

$$x\in Z(\Bbb C[G]), \qquad x=\sum_{g\in G}a(g)g.$$

(Creo que de los coeficientes $a(g)$ como una función de $a:G\to\Bbb C$.) Entonces para cualquier $\sigma\in G$ hemos

$$\sigma x\sigma^{-1}=\sum_{g\in G}a(g)\sigma g\sigma^{-1}=\sum_{g\in G}a(\sigma^{-1}g\sigma) g.$$

Pero desde $x$ es central, sabemos $x=\sigma x\sigma^{-1}$. La comparación de los coeficientes de abajo,

$$\sum_{g\in G}a(g)g=\sum_{g\in G}a(\sigma^{-1} g\sigma)g$$

nos encontramos con $a(g)=a(\sigma^{-1}g\sigma)$ todos los $g,\sigma\in G$, es decir, $a$ es una función de clase. Por lo tanto $a(C)$ tiene sentido, donde denotamos por a $C$ una clase conjugacy de $G$, y así como $C$ rangos de clases que hemos

$$x=\sum_C a(C)\sum_{g\in C}g.$$

Por el contrario, la clase sumas son invariantes bajo la conjugación por $G$, por lo que cualquier clase de suma o combinación de clase sumas conmuta con cualquier $g\in G$, y por lo tanto conmutan con todos los elementos de a $\Bbb C[G]$.

Ahora si $x,y\in Z(\Bbb C[G])$ lo es $xy$. Por lo tanto, si $x$ $y$ son de dos clases sumas, $xy$ debe ser un $\Bbb C$-combinación lineal de clase sumas. Pero ¿cómo podemos conseguir que es un $\Bbb N$-combinación lineal?

Considere la posibilidad de que en lugar de la semiring $\Bbb N[G]$ (tenga en cuenta que nuestro $\Bbb N$ debe contener $0$; pensar acerca de abelian grupos $G$ para ver esta). Se compone de $\Bbb N$-de las combinaciones lineales de elementos de $G$, con el mismo evidentes las reglas de la suma y la multiplicación, pero esta vez no hay inversos aditivos. El mismo argumento que está escrito arriba muestra cada elemento del centro $Z(\Bbb N[G])$ (los elementos que conmutan con todo lo demás) $\Bbb N$- de las combinaciones lineales de clase sumas. Claramente el producto de los dos elementos centrales es central, por lo que el producto de la clase sumas debe ser un $\Bbb N$-combinación lineal de clase sumas!

Esto demuestra que todos los de nuestra actual lógica y la comprensión es perfectamente suficiente para el problema en cuestión, y no el nuevo pensamiento es necesario. También se puede dar un recuento de la interpretación de los coeficientes. Si $z_\Gamma=\sum_{g\in \Gamma}g$ denotar la clase de sumas y $[g]$ denota la clase conjugacy de un elemento $g\in G$, entonces para cualesquiera tres elementos $a,b,c\in G$ el coeficiente de $z_{[c]}$ en la expansión del producto $z_{[a]}z_{[b]}$ es igual a $\#\{(x,y)\in G^2:x\sim a,y\sim b,xy=c\}$. De hecho, en orden a contar una cosa con generatingfunctionological pensamiento, sería naturalmente buscan el coeficiente de $c$ en la expansión de $(\sum_{x\sim a}x)(\sum_{y\sim b}y)$!

Answer 2

Bueno, no es tan difícil si se expande el producto $z_iz_j$... Entonces, digamos que tiene un elemento $gh$ en el producto con $g\in C_i$$h\in C_j$. Si podemos mostrar que todos los elementos en su clase conjugacy aparecen en la expansión de $z_iz_j$ (el número correcto de veces), hemos terminado...

Dicho elemento, sería $t^{-1}ght=t^{-1}gt\cdot t^{-1}ht$, lo que también debe aparecer en $z_iz_j$ desde $t^{-1}gt\in C_i$$t^{-1}ht\in C_j$.

Evenmore no es difícil comprobar que si $gh$ aparece muchas veces en la expansión (dicen que porque $gh=g'h'$), $t^{-1}ght$ debe aparecer como muchas veces así...

---

Edit: voy a elaborar en la última parte:

Decir $gh=g_2h_2=\cdots=g_kh_k$ donde todos los factorizations son diferentes, es decir, $gh$ aparece $k$-muchas veces en la expansión. Ahora considere una $t\in G$ tal que $t^{-1}ght\neq gh$. Vamos a mostrar que $t^{-1}ght$ debe aparecer, al menos, $k$ veces en la expansión (esto debería ser suficiente, ya que por simetría se podría aplicar el mismo argumento para $gh$ que aparecen más veces...).

Por supuesto, tenemos $t^{-1}ght=t^{-1}g_2h_2t=\cdots=t^{-1}g_kh_kt$. Por otra parte, cada uno de estos productos puede ser escrito como $t^{-1}g_ih_it=t^{-1}g_it\cdot t^{-1}h_it$. Ahora, cada vez que al menos uno de los pares de $(t^{-1}g_it,t^{-1}g_jt)$ $(t^{-1}h_it,t^{-1}h_jt)$ contiene diferentes elementos, tanto en $t^{-1}g_ih_it$ $t^{-1}g_jh_jt$ aparecen en la descomposición. Pero claro, si los dos pares contenida exactamente los mismos elementos, tendríamos $g_i=g_j$$h_i=h_j$, por lo que no habríamos tenido dos diferentes factorizations de $gh$ a empezar con...

---

Edit: en cuanto a los coeficientes de ir, el enumerativa de interpretación de abajo por whacka es correcta y fruiful, ya que hay un montón de investigación sobre el recuento factorizations de los elementos del grupo. Sin embargo, en general, es muy difícil obtener una fórmula para el coeficiente de $z_t$.

Una razón para ello es que, aparte de los clásicos grupos de Coxeter (tipos a,B,C,D...) y otros pocos ejemplos, ni siquiera tenemos una manera consistente para el índice de las clases conjugacy de un grupo.

Por otra parte, incluso en el grupo Simétrico caso, donde las clases conjugacy han agradable combinorial descripciones, sólo se dispone de resultados parciales. Sin embargo, la teoría no es muy bonito y factorizations están conectados a particular gráficos incrustados en las superficies, topológicamente distintos holomorphic funciones, y, por supuesto, teoría de la Representación.

Usted puede comprobar fuera de este bonito papel por Goulden y Jackson, y sus muchas referencias, por parte del grupo Simétrico caso...