Constante de las funciones de

Question

Vamos $f$ , $g$ , $h$ tres funciones de el conjunto de los números reales positivos a sí mismo la satisfacción de $$f(x)g(y) = h\left((x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}\right)$$ for all positive real numbers $x$ , $s$ . Show that $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ , $\dfrac{g(x)}{h(x)}$ and $\dfrac{h(x)}{f(x)}$ son constantes funciones .

Me han demostrado que $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ es constante y se puede ver que acredite cualquiera de las dos últimas será el final , pero no soy capaz de probar cualquier de los dos últimos .

Gracias por la ayuda .

Answer 1

forall $x,y,z>0$, $h(\sqrt{x^2+y^2})f(z) = f(x) g(y) f(z) = f(x) h(\sqrt{y^2+z^2})$,
por lo tanto $\frac {h(\sqrt{x^2+y^2})}{h(\sqrt{z^2+y^2})} = \frac{f(x)}{f(z)} $.

Por lo tanto, forall $x,y,z,t > 0$ : $\frac {h(\sqrt{x^2+z^2})}{h(\sqrt{y^2+z^2})} = \frac {f(x)}{f(y)} = \frac {h(\sqrt{x^2+z^2+t^2})}{h(\sqrt{y^2+z^2+t^2})} = \frac {f(\sqrt{x^2+z^2})}{f(\sqrt{y^2+z^2})}$, por lo tanto $\frac {h(\sqrt{x^2+z^2})}{f(\sqrt{x^2+z^2})} = \frac{h(\sqrt{y^2+z^2})}{f(\sqrt{y^2+z^2})} $, lo que demuestra que $h/f$ es una función constante.

Answer 2

Podemos suponer $f(1)=g(1)=1$. De ello se desprende que $f(x)=h\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr)=g(x)$ todos los $x>0$. Poner $$H(t):=h\bigl(\sqrt{t}\bigr)\qquad(t>0)\ ,$$ entonces $$f(x)\ f(y)=H(x^2+y^2)\qquad(x>0, \ y>0)\ .$$ Tomando logaritmos obtenemos $\log f(x)+\log f(y)=\log H(x^2+y^2)$ o $$\log H(x^2+1)+\log H(y^2+1)=\log H(x^2+y^2)\ .\qquad(1)$$ Ahora escribiremos $x^2:=1+u$, $\ y^2:= 1+v$ con $u$ $v$ cerca de $0$ e introducir la nueva función de $\phi(t):=\log H(2+t)$. A continuación, $(1)$ se convierte en la conocida ecuación funcional $$\phi(u)+\phi(v)=\phi(u+v)\ .\qquad(2)$$ Si insistimos en que la $f$, $g$, $h$ son continuas entonces la única solución a $(2)$ son las funciones de $\phi(t)=C\,t$, y va todo el camino hacia atrás la demanda sobre los $f$, $g$, $h$ de la siguiente manera.

Answer 3

$f , g , h$ tres funciones a partir del conjunto de los números reales positivos a sí mismo

Por lo tanto $f(0)$ $g(0)$ son constantes.

$$f(x)g(0) = h\left((x^2+0^2)^{\frac{1}{2}}\right)$$ $$f(x)g(0) = h(x)$$ $$ \dfrac{h(x)}{f(x)} = g(0)$$ Por tanto, $\dfrac{h(x)}{f(x)}$ es una función constante

$$f(0)g(x) = h\left((0^2+x^2)^{\frac{1}{2}}\right)$$ $$f(0 )g(x) = h(x)$$ $$ \dfrac{h(x)}{g(x)} = f(0)$$ Por tanto, $\dfrac{h(x)}{g(x)}$ es una función constante $$f(x)g(y) = h\left((x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}\right)= f(y)g(x)$$ Tomar $y=0$, $$f(x)g(0) = f(0)g(x)$$ $$\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f(0)}{g(0)}$$ Por tanto, $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ es una función constante

Answer 4

Suponemos $f,g$, e $h$ son todas continuas. Yo reclamo que $\lim_{x \rightarrow 0}f(x)$, $\lim_{x \rightarrow 0}g(x)$, y $\lim_{x \rightarrow 0}h(x)$ todos los que existen y son positivos. Para ver esto, observe que $f(x) = {h(\sqrt{x^2 + 1}) \over g(1)}$ y tomar a los límites de $x \rightarrow 0$ a la derecha. Uno hace el simétrico de argumento para demostrar $\lim_{x \rightarrow 0} g(x)$ existe y es positiva, entonces a partir de la $h(x) = f({x \over \sqrt{2}})g({x \over \sqrt{2}})$ tenemos que $\lim_{x \rightarrow 0} h(x)$ es un número positivo así.

Por lo tanto, podemos extender el dominio de definición de las tres funciones y asumir que $f,g,$ $h$ positiva continua de las funciones en $[0,\infty)$. Por continuidad (tomando límites de $x$ y/o $y$ ir a cero) la ecuación funcional llevará a cabo por cualquier $x$$y$$[0,\infty)$. Ahora podemos plug $y = 0$ en el funcional de la ecuación y obtener ese $f(x)g(0) = h(x)$, y de conectar $x = 0$ en el funcional de la ecuación obtenemos que $f(0)g(y) = h(y)$ y hemos terminado.