Ayuda a probar que cada número natural Co cebar con 10 es un factor de un repunit

Question

Posibles Duplicados:
La prueba de que un número natural que multiplicado por un número entero de los resultados en un número con sólo uno y el cero como dígitos
Por qué (directamente!) cada número se dividen 9, 99, 999, ... o de 10, 100, 1000, ..., o su producto?

Deje $n$ ser un número natural co-prime con 10, y $m$, otro número natural que consiste enteramente de $1$'s. ¿Cómo se puede demostrar que para cada $n$, existe un $m$ tal que $n$ divide $m$?

Answer 1

Considere la fracción $\frac{1}{n}$. $n$ Es coprimo a $10$, la fracción es una fracción puramente repetición con período $k$. Indica que el bloque de repetición $r$. Luego tomar copias de $9$de % de $r$ con sí mismo (es decir, $x=\underbrace{rr\cdots r}_{9\ \text{times}}$) tenemos que % es necesariamente divisible por $x$ $9$. $$\frac{1}{n} = 0.x\overline{x} \implies \frac{10^{9k}}{n} - x = \frac{1}{n}$ $ Da esto entonces $$10^{9k} - 1 = xn \implies \frac{10^{9k} - 1}{9} = \frac{x}{9}n$ $